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第3讲矩阵与变换、坐标系与参数方程考情考向分析1.考查常见的平面变换与矩阵的乘法运算，二阶矩阵的逆矩阵及其求法，矩阵的特征值与特征向量的求法，属B级要求.2.考查直线、曲线的极坐标方程、参数方程，参数方程与普通方程的互化，极坐标与直角坐标的互化，属B级要求热点一二阶矩阵与平面变换例1已知矩阵A所对应的变换T把曲线C变成曲线C1：1，求曲线C的方程解设曲线C上任一点为(x，y)，经过变换T变成(x0，y0)，则，即x0x，y0y.由1，得曲线C的方程为x24y24.思维升华解决这类问题一般是设变换T：，求出原曲线在T的变换下得到的曲线，再根据条件求相应的系数值跟踪演练1已知曲线C1：x2y21，对它先作矩阵A对应的变换，再作矩阵B对应的变换，得到曲线C2：y21，求实数b的值解从曲线C1变到曲线C2的变换对应的矩阵为BA.在曲线C1上任意选一点P(x0，y0)，设它在矩阵BA对应的变换作用下变为P(x，y)，则有 ，即.故解得代入曲线C1方程得，y221.即曲线C2方程为2x2y21.与已知的曲线C2的方程y21比较得(2b)24.所以b1.热点二二阶矩阵的逆矩阵及其求法例2已知点P(3,1)在矩阵A变换下得到点P(5，1)试求矩阵A和它的逆矩阵A1.解依题意得 ，所以解得所以A.因为det(A)1(1)021，所以A1.思维升华由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组，常用于求二阶矩阵，要注意变换的前后顺序跟踪演练2二阶矩阵M对应的变换TM将曲线x2xy10变为曲线2y2x20，求M1.解设曲线2y2x20上一点P(x，y)在M1对应变化下变成P(x，y)，设M1，所以代入x2xy10得，方程(axby)2(axby)(cxdy)10，即b2y2(ac)x(bd)y2abxya2x210，与方程y210比较得，a0，b1，c，d1或a0，b1，c，d1.所以M1或M1.热点三特征值与特征向量例3已知二阶矩阵M有特征值8及对应的一个特征向量e1，并且矩阵M对应的变换将点(1,2)变换成(2,4)(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值解(1)设M，M8，M，则解得即M.(2)令特征多项式f()(6)(4)80，解得18，22.故矩阵M的另一个特征值为2.思维升华求矩阵M就是要求待定的字母，利用条件建立方程组，确立待定的字母的值，从而求出矩阵，待定系数法是求这类问题的通用方法跟踪演练3已知矩阵A的逆矩阵A1.(1)求矩阵A；(2)求矩阵A1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量解(1)因为矩阵A是矩阵A1的逆矩阵，且|A1|221130，所以A.(2)矩阵A1的特征多项式为f()243(1)(3)，令f()0，得矩阵A1的特征值为11，23，所以1是矩阵A1的属于特征值11的一个特征向量，2是矩阵A1的属于特征值23的一个特征向量热点四曲线的极坐标方程例4(2018江苏冲刺预测)已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 .(1)求曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；(2)射线OP：与C2交于P点，射线OQ：与C2交于Q点，求的值解(1)因为曲线C1的参数方程为(t为参数)，所以曲线C1的直角坐标方程为x2y20，所以曲线C1的极坐标方程为cos 2sin 20，因为，所以2(2sin2)6，所以曲线C2的直角坐标方程为2x23y26.(2)依题意得，点P的极坐标满足所以OP，点Q的极坐标满足所以OQ，所以.思维升华解决这类问题一般有两种思路：一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标要注意题目所给的限制条件及隐含条件跟踪演练4在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a0)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos .(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan 02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2(y1)2a2(a0)，C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆将xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin 1a20.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若0，由方程组得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，从而1a20，解得a1(舍去)或a1.当a1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上所以a1.热点五参数方程例5在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为2sin .(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，)，求PAPB.解方法一(1)由2sin ，得x2y22y0，即x2(y)25.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得225，即t23t40.由于(3)24420，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以又直线l过点P(3，)，故由上式及t的几何意义，得PAPB|t1|t2|t1t23.方法二(1)同方法一(2)因为圆C的圆心为(0，)，半径r，直线l的普通方程为yx3.由得x23x20.解得或不妨设A(1,2)，B(2,1)，又点P的坐标为(3，)故PAPB3.思维升华过定点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则P1P2|t1t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1t2)跟踪演练5在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，求线段AB的长解将直线l的参数方程(t为参数)代入抛物线方程y24x，得24，解得t10，t28.所以AB|t1t2|8.1(2018江苏)已知矩阵A.(1)求A的逆矩阵A1；(2)若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P(3,1)，求点P的坐标解(1)因为A，又det(A)221310，所以A可逆，从而A1.(2)设P(x，y)，则 ，所以A1，因此，点P的坐标为(3，1)2(2018江苏)在极坐标系中，直线l的方程为sin2，曲线C的方程为4cos ，求直线l被曲线C截得的弦长解因为曲线C的极坐标方程为4cos ，所以曲线C是圆心为(2,0)，直径为4的圆因为直线l的极坐标方程为sin2，则直线l过点A(4,0)，且倾斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点设另一个交点为B，则OAB.如图，连结OB.因为OA为直径，从而OBA，所以AB4cos 2.因此，直线l被曲线C截得的弦长为2.3(2017江苏)已知矩阵A，B.(1)求AB；(2)若曲线C1：1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程解(1)因为A，B，AB .(2)设Q(x0，y0)为曲线C1上任意一点，它在矩阵AB对应的变换作用下变为点P(x，y)，则 ，即所以因为点Q(x0，y0)在曲线C1上，所以1，从而1，即x2y28.因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2：x2y28.1(2018苏锡常镇四市模拟)已知矩阵M的一个特征值为3，求M1.解由0，得(2)(x)40的一个解为3，代入得x1，因为M，所以M1.2已知矩阵A，B，向量，x，y为实数若AB，求xy的值解由已知，得A ，B .因为AB，所以.故解得所以xy.3(2015江苏)已知x，yR，向量是矩阵A的属于特征值2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值解由已知，得A2，即 ，则即所以矩阵A.从而矩阵A的特征多项式f()(2)(1)，所以矩阵A的另一个特征值为1.4在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l的距离的最大值为，求a.解(1)曲线C的普通方程为y21.当a1时，直线l的普通方程为x4y30.由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0)，.(2)直线l的普通方程为x4ya40，故C上的点(3cos ，sin )到l的距离为d.当a4时，d的最大值为 .由题设得，所以a8；当a4时，d的最大值为.由题设得，所以a16.综上，a8或a16.5已知圆C的极坐标方程为22sin40，求圆C的半径解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为2240，化简，得22sin 2cos 40.则圆C的直角坐标方程为x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆C的半径为.6(2016江苏)已知矩阵A，矩阵B的逆矩阵B1，求矩阵AB.解B(B1)1.AB .7(2016江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(为参数)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长解直线l的方程化为普通方程为xy0，椭圆C的方程化为普通方程为x21，联立方程组得解得或取A(1,0)，B.故AB .8(2018扬州模拟)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t是参数，m是常数)以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为6cos .(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且PQ2，求实数m的值解(1)因为直线l的参数方程是 (t是参数)，所以直线l的普通方程为xym0.因为曲线C的极坐标方程为6cos ，故26cos ，所以x2y26x，所以曲线C的直角坐标方程是(x3)2y29.(2)曲线C表示以C(3,0)为圆心，3为半径的圆，设圆心到直线l的距离为d，则d2， 又d2， 所以|3m|4，即 m1或m7.
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