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第三节不等式的性质及一元二次不等式突破点一不等式的性质1比较两个实数大小的方法(1)作差法(2)作商法2不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性abbb，bcac可加性ab，cRacbc可乘性acbc注意c的符号acbd同向同正可乘性acbd0可乘方性ab0anbn(nN，n1)a，b同为正数可开方性ab0(nN，n2)3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质ab，ab0.a0bb0,0c.0axb或axb0b0，m0，则(bm0)；0)一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)若0，则，则ab.()(3)若ab，cd，则acbd.()答案：(1)(2)(3)二、填空题1若ab0，则与大小关系是_(用“”表示)答案：aab，则实数b的取值范围是_答案：(，1)1设M2a(a2)，N(a1)(a3)，则有()AMNBMNCM0，所以MN，故选A.2(2018吉安一中二模)已知下列四个关系式：abacbc；abb0，cd0；ab1，c0ac0b时，不正确由于cd0，所以0，又ab0，所以0，正确由于ab1，当x0时，axbx，故acbc，正确故选B.3若a，b，则a_b(填“”或“”)解析：易知a，b都是正数，log891，所以ba.答案：4已知2xy，3xy，则9xy的取值范围是_解析：设9xya(2xy)b(3xy)，则9xy(2a3b)x(ab)y，于是比较两边系数得得a6，b7.由已知不等式得36(2xy)3，7(3xy)，所以9xy.答案：1比较两个数(式)大小的两种方法2不等式性质应用问题的常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件(2)与充要条件相结合的问题用不等式的性质分别判断pq和qp是否正确，要注意特殊值法的应用(3)与命题真假判断相结合的问题解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法突破点二一元二次不等式1三个“二次”之间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两个相异实根x1，x2(x1x2)有两个相等实根x1x2没有实数根一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|xx2R一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|x1xx22.不等式ax2bxc0(0对任意实数x恒成立或(2)不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立或一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)若不等式ax2bxc0.()(2)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为空集()(3)若不等式ax2bxc0对xR恒成立，则其判别式0.()答案：(1)(2)(3)二、填空题1不等式1的解集是_解析：原不等式可化为0，即x(x1)0，且x10，解得x1或x0.答案：(，0(1，)2设a1，则关于x的不等式a(xa)0的解集是，则ab的值是_答案：144若不等式ax2ax1f(a)，则实数a的取值范围是()A(，2)(1，)B(1,1)C(2,1) D(1,2)(2)(2019六安阶段性考试)已知常数aR，解关于x的不等式12x2axa2.解析(1)选Cf(x)函数f(x)是奇函数，且在R上单调递增，f(2a2)f(a)等价于2a2a，即a2a20，解得2aa2，12x2axa20，即(4xa)(3xa)0.令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.当a0时，0，解集为x|xR，且x0；当a，解集为.综上所述：当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为x|xR，且x0；当a0时，不等式的解集为.解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式与0的关系(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式 考法二由一元二次不等式恒成立求参数范围考向一在实数集R上恒成立例2(2019大庆期中)对于任意实数x，不等式(a2)x22(a2)x40恒成立，则实数a的取值范围是_解析当a20，即a2时，40恒成立；当a20时，则有解得2a2，2a2.答案(2,2考向二在某区间上恒成立例3(2019忻州第一中学模拟)已知关于x的不等式x24xm对任意的x(0,1恒成立，则实数m的取值范围为_解析令f(x)x24x，x(0,1，f(x)图象的对称轴为直线x2，f(x)在(0,1上单调递减，当x1时f(x)取得最小值，为3，m3.答案m3解决一元二次不等式在某区间恒成立问题常转化为求二次函数的最值问题或用分离参数法求最值问题 1.如果关于x的不等式x2axb的解集是x|1x3，那么ba等于()A81 B81C64 D64解析：选B不等式x2axb可化为x2axb0，其解集是x|1x3，那么，由根与系数的关系得得所以ba(3)481.故选B.2.已知关于x的不等式x2(k1)xk10对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是()A(，31，) B(，13，)C1,3 D3,1解析：选D关于x的不等式x2(k1)xk10对任意实数x都成立，则(k1)24(k1)0，解得3k1，故选D.3.若不等式x2mx10对于任意xm，m1都成立，则实数m的取值范围是_解析：由题意，得函数f(x)x2mx1在m，m1上的最大值小于0，又抛物线f(x)x2mx1开口向上，所以只需即解得m0.答案：
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