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课下层级训练(四十七)双曲线A级基础强化训练1(2019江西新余摸底)双曲线1(a0)的渐近线方程为()Ay2xByxCy4xDyxA根据双曲线的渐近线方程知，yx2x .2已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为()A1B1C1D1A已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)，(4,0)，则c4，a2，b212，双曲线方程为1 .3(2018全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()AB2CD2D由题意，得e，c2a2b2，得a2b2.又因为a0，b0，所以ab，渐近线方程为xy0，点(4,0)到渐近线的距离为2.4(2019河南开封月考)已知l是双曲线C：1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则P到x轴的距离为()ABC 2DC由题意知F1(，0)，F2(，0)，不妨设l的方程为yx，则可设P(x0，x0)由(x0，x0)(x0，x0)3x60，得x0，故P到x轴的距离为|x0|2 .5(2018天津卷)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为()A1B1C1D1C如图，不妨设A在B的上方，则A，B.其中的一条渐近线为bxay0，则d1d22b6，b3又由e2，知a2b24a2，a双曲线的方程为1.6已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线为2xy0，一个焦点为(，0)，则a_；b_12由2xy0，得y2x，所以2又c，a2b2c2，解得a1，b2.7(2018江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1(a0，b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为_2双曲线的渐近线方程为bxay0，焦点F(c,0)到渐近线的距离db.bc，ac，e2.8设双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|AF2|的最小值为_10由双曲线的标准方程为1，得a2，由双曲线的定义可得|AF2|AF1|4，|BF2|BF1|4，所以|AF2|AF1|BF2|BF1|8.因为|AF1|BF1|AB|，当|AB|是双曲线的通径时，|AB|最小，所以(|AF2|BF2|)min|AB|min8810.9已知椭圆D：1与圆M：x2(y5)29，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程解椭圆D的两个焦点为F1(5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c5设双曲线G的方程为1(a0，b0)，渐近线方程为bxay0且a2b225，又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r33，得a3，b4，双曲线G的方程为110已知双曲线的中心在原点，左，右焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：120(1)解e，可设双曲线的方程为x2y2(0)双曲线过点(4，)，1610，即6，双曲线的方程为x2y26(2)证明证法一：由(1)可知，双曲线中ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1kMF2点M(3，m)在双曲线上，9m26，m23，故kMF1kMF21，MF1MF2，即120证法二：由证法一知1(32，m)，2(23，m)，12(32)(32)m23m2，点M在双曲线上，9m26，即m230，120B级能力提升训练11(2018全国卷)已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|()AB3C2D4B由已知得双曲线的两条渐近线方程为y x设两渐近线夹角为2，则有tan ，所以30所以MON260又OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MNON，如图所示在RtONF中，|OF|2，则|ON|则在RtOMN中，|MN|ON|tan 2tan 603.12(2019湖北武汉调研)已知不等式3x2y20所表示的平面区域内一点P(x，y)到直线yx和直线yx的垂线段分别为PA，PB，若PAB的面积为，则点P轨迹的一个焦点坐标可以是()A(2,0)B(3,0)C(0,2)D(0,3)A直线yx与yx的夹角为60，且3x2y20，PA与PB的夹角为120，|PA|PB|，SPAB|PA|PB|sin 120(3x2y2)，即P点的轨迹方程为x21，半焦距为c2，焦点坐标可以为(2,0)13(2017全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若MAN60，则C的离心率为_如图，由题意知点A(a,0)，双曲线的一条渐近线l的方程为yx，即bxay0，点A到l的距离d又MAN60，MANAb，MAN为等边三角形，dMAb，即b，a23b2，e.14已知双曲线x21的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上存在一点P使e，则_2由题意及正弦定理得e2，|PF1|2|PF2|，由双曲线的定义知|PF1|PF2|2，|PF1|4，|PF2|2.又|F1F2|4，由余弦定理可知cosPF2F1，|cosPF2F1242.15已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|解(1)双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，解得c3，b，双曲线的方程为1(2)双曲线1的右焦点为F2(3,0)，经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30的直线的方程为y(x3)联立得5x26x270设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2所以|AB| 16已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围解(1)设双曲线C的方程为1(a0，b0)由已知得a，c2，再由a2b2c2，得b21，所以双曲线C的方程为y21(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90由题意知解得k1所以当l与双曲线左支有两个交点时，k的取值范围为(3)由(2)得xAxB，所以yAyB(kxA)(kxB)k(xAxB)2所以AB的中点P的坐标为设直线l0的方程为yxm，将P点坐标代入直线l0的方程，得m因为k1，所以213k20，所以m2所以m的取值范围为(，2)
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