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阶段训练三(范围：2.32.5)一、选择题1双曲线x2y21的顶点到其渐近线的距离等于()A.B.C1D.考点双曲线的离心率与渐近线题点以离心率或渐近线为条件的简单问题答案B解析双曲线x2y21的渐近线方程为xy0，顶点坐标为(1,0)，(1,0)，故顶点到渐近线的距离为.2(2018黑龙江齐齐哈尔高二检测)已知抛物线C：y的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，且|AF|2y0，则x0等于()A2B2C4D4考点抛物线的定义题点抛物线定义的直接应用答案C解析抛物线C：y，x28y，焦点F(0,2)，准线方程为y2.A(x0，y0)是C上一点，且|AF|2y0，由抛物线的定义，得y022y0，y02，x16，x04，故选C.3已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2，若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2yBx2yCx28yDx216y考点抛物线的标准方程题点求抛物线的方程答案D解析双曲线1的离心率为2，2，即4，.抛物线x22py的焦点坐标为，双曲线1的渐近线方程为yx，即yx.由题意得2，p8.抛物线C2的方程为x216y.4(2018宜宾高二检测)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y28x的准线交于A，B两点，且|AB|2，则C的实轴长为()A1B2C4D8考点抛物线的简单几何性质题点抛物线与其他曲线结合有关问题答案B解析设等轴双曲线的方程为x2y2(0)，抛物线的方程为y28x，2p8，p4，2，抛物线的准线方程为x2.设等轴双曲线与抛物线的准线x2的两个交点为A(2，y)，B(2，y)(y0)，则|AB|y(y)|2y2，y.将x2，y代入，得(2)2()2，即1，等轴双曲线C的方程为x2y21，C的实轴长为2.5已知F1，F2是双曲线E：1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为()A.B.C.D2考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率答案A解析由题知，点M在双曲线的左支上，如图，因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|.又sinMF2F1，所以，即|MF2|3|MF1|.由双曲线的定义得2a|MF2|MF1|2|MF1|，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以离心率e.6在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为()A.B.C.D.考点题点答案B解析双曲线x2y21的渐近线方程为xy0，直线xy10与渐近线xy0平行，故两平行线间的距离d.由点P到直线xy10的距离大于c恒成立，得c，故c的最大值为.7设A，B是抛物线y22x上异于原点的不同两点，则的最小值为()A1B1C2D4考点题点答案B解析设直线AB的方程为xmyt，代入抛物线y22x，可得y22my2t0，4m28t0且t0，设A，B，则y1y22m，y1y22t，y1y2t22t(t1)21，当t1时，取得最小值1.8已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A.B.C.D.考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线的综合问题答案D解析抛物线y22px的准线为直线x，而点A(2,3)在准线上，所以2，即p4，从而C：y28x，焦点为F(2,0)易知切线的斜率存在，设切线方程为y3k(x2)，代入y28x得y2y2k30(k0)，由于14(2k3)0，所以k2或k.因为切点在第一象限，所以k.将k代入中，得y8，再代入y28x中得x8，所以点B的坐标为(8,8)，所以直线BF的斜率为.二、填空题9过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1x26，则|AB|_.考点抛物线中过焦点的弦长问题题点求抛物线的焦点弦长答案8解析因为直线AB过焦点F(1,0)，所以|AB|x1x2p628.10已知双曲线1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的标准方程为_考点由双曲线的简单几何性质求方程题点待定系数法求双曲线方程答案1解析由题意及双曲线的对称性画出示意图，如图所示，渐近线OB：yx.设B，x00，则x0x0，x01，B，1222，b212，双曲线方程为1.11已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若AMF与AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为31，则点A的坐标为_考点抛物线的简单几何性质题点抛物线性质的综合问题答案(2，2)解析如图所示，由题意，可得|OF|1，由抛物线的定义，得|AF|AM|，因为AMF与AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为31，所以3.所以|AF|AM|3|OF|3.设A，所以13，所以2，解得y02.所以点A的坐标是(2，2)三、解答题12已知命题p：方程1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线1的离心率e(1,2)，若p，q有且只有一个为真，求m的取值范围考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程研究其它问题解将方程1改写成1，只有当1m2m0，即0m时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以命题p等价于0m0，且14，解得0m15，所以命题q等价于0m15.若p真q假，则m不存在；若p假q真，则m15.综上可知，m的取值范围为.13已知双曲线C：x2y21及直线l：ykx1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为，求线段AB的长考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线相交弦长与三角形面积解(1)若双曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组有两个不同的实数根，整理得(1k2)x22kx20，解得k且k1.故双曲线C与直线l有两个不同的交点时，k的取值范围是(，1)(1,1)(1，)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)得x1x22，即k2k0，解得k或k.k0)的焦点，点M(x0,1)在C上，且|MF|.(1)求p的值；(2)若直线l经过点Q(3，1)且与C交于A，B(异于M)两点，证明：直线AM与直线BM的斜率之积为常数考点抛物线的定值、定点问题题点抛物线中的定值问题(1)解由抛物线定义知|MF|x0，则x0x0，解得x02p，又点M(x0,1)在C上，所以2px01，又p0，所以x01，p.(2)证明由(1)得M(1,1)，C：y2x.当直线l经过点Q(3，1)且垂直于x轴时，不妨设A(3，)，B(3，)，则直线AM的斜率kAM，直线BM的斜率kBM，所以kAMkBM.当直线l不垂直于x轴时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AM的斜率kAM，同理直线BM的斜率kBM，所以kAMkBM.设直线l的斜率为k(显然k0且k1)，则直线l的方程为y1k(x3)联立消去x，得ky2y3k10，所以y1y2，y1y23，故kAMkBM.综上，直线AM与直线BM的斜率之积为.
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