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小题必刷卷(四)导数及其应用考查范围:第13讲第15讲题组一刷真题角度1导数的运算及几何意义1.2018全国卷 设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x2.2016山东卷 若函数y=f(x)的图像上存在两点,使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sinxB.y=lnxC.y=exD.y=x33.2016四川卷 设直线l1,l2分别是函数f(x)=-lnx,0x1图像上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PAB的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+)D.(1,+)4.2018天津卷 已知函数f(x)=exlnx,f(x)为f(x)的导函数,则f(1)的值为.5.2018全国卷 曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为.6.2017天津卷 已知aR,设函数f(x)=ax-lnx的图像在点(1,f(1)处的切线为l,则l在y轴上的截距为.7.2016全国卷 已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.8.2015全国卷 已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(1,f(1)处的切线过点(2,7),则 a=.9.2015全国卷 已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.角度2导数的应用10.2017全国卷 函数y=1+x+sinxx2的部分图像大致为()ABCD图X4-111.2017山东卷 若函数exf(x)(e=2.71828是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是()A.f(x)=2-xB.f(x)=x2C.f(x)=3-xD.f(x)=cosx12.2016四川卷 已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=()A.-4B.-2C.4D.213.2018江苏卷 若函数f(x)=2x3-ax2+1(aR)在(0,+)内有且只有一个零点,则f(x)在-1,1上的最大值与最小值的和为.14.2017江苏卷 已知函数f(x)=x3-2x+ex-1ex,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)0,则实数a的取值范围是.题组二刷模拟15.2018贵州遵义航天中学月考 曲线y=xlnx在点M(e,e)处的切线方程为()A.y=x-eB.y=x+eC.y=2x-eD.y=2x+e16.2018湖南五市十校联考 已知函数f(x)=2x-alnx,且曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线x+y+1=0垂直,则a=()A.1B.2C.-1D.-217.2018大连一模 若曲线y=ex在点P(x0,ex0)处的切线在y轴上的截距小于0,则x0的取值范围是()A.(0,+)B.(1,+)C.(2,+)D.1e,+18.2018四川雅安4月联考 已知定义在R上的函数f(x)满足f(3)=16,且f(x)的导函数f(x)4x-1,则不等式f(x)2x2-x+1的解集为()A.x|-3x-3C.x|x3D.x|x319.2018石家庄模拟 曲线y=ex-1+x的一条切线经过坐标原点,则该切线方程为()A.y=2exB.y=exC.y=3xD.y=2x20.2018安徽安庆二模 已知函数f(x)=2ef(e)lnx-xe(e是自然对数的底数), 则f(x)的极大值为 ()A.2e-1B.-1eC.1D.2ln221.2018重庆巴蜀中学月考 已知函数f(x)为偶函数,且当x0时,f(x)=x+12sinx,则关于x的不等式f(x)f(2x-1)的解集为()A.x|1x3B.x|x1C.xx1D.x13x0在R上恒成立,则以下不等式一定成立的是()A.f(1)f(2)e2B.f(1)e3f(1)D.f(-2)0且a1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为3,则loga32=.小题必刷卷(四)1.D解析 因为f(x) 为奇函数,所以a-1=0,即a=1,所以f(x)=x3+x,所以f(x)=3x2+1.因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.2.A解析 由函数图像上两点处的切线互相垂直可知,函数在两点处的导数之积为-1.对于A,y=(sinx)=cosx,存在x1,x2使cosx1cosx2=-1.3.A解析 不妨设P1,P2两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),其中0x11x2.由题意可知,f(x)=-1x,0x1.由于l1,l2分别是点P1,P2处的切线,所以l1的斜率为-1x1,l2的斜率为1x2.又l1与l2垂直,且0x1x2,所以-1x11x2=-1,即x1x2=1,可以写出l1与l2的方程分别为l1:y=-1x1(x-x1)-lnx1,l2:y=1x2(x-x2)+lnx2.则点A的坐标为(0,1-lnx1),点B的坐标为(0,-1+lnx2),由此可得|AB|=2-lnx1-lnx2=2-ln(x1x2)=2.联立y=-1x1(x-x1)-ln x1,y=1x2(x-x2)+ln x2,解得交点P的横坐标为2x1+x2,故SPAB=1222x1+x2=2x1+1x11,当且仅当x1=1x1,即x1=1时,等号成立.而0x11,所以0SPAB0时,-x0时,f(x)=ex-1+x,f(x)=ex-1+1,即f(1)=2,曲线在点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),整理得2x-y=0.8.1解析 因为f(x)=3ax2+1,所以函数在点(1,f(1),即点(1,2+a)处的切线的斜率k=f(1)=3a+1.又切线过点(2,7),则经过点(1,2+a),(2,7)的直线的斜率k=2+a-71-2,所以3a+1=2+a-71-2,解得a=1.9.8解析 对函数y=x+lnx求导得y=1+1x,函数图像在点(1,1)处的切线的斜率k=y|x=1=2,所以在点(1,1)处的切线方程为y=2x-1,又该切线也为函数y=ax2+(a+2)x+1的切线,所以由y=2x-1,y=ax2+(a+2)x+1得ax2+ax+2=0,此方程应有唯一解,所以=a2-8a=0,得a=8或a=0(舍).10.D解析 函数y=1+x+sinxx2的图像可以看成是由y=x+sinxx2的图像向上平移一个单位长度得到的,并且y=1+x+sinxx2=1+xcosx-2sinxx3,当x时,y1,所以可确定答案为A或D,又当x=1时,y=1+1+sin12,由图像可以排除A,故选D.11.A解析 令g(x)=exf(x).对于A,f(x)的定义域为R,g(x)=ex2-x=e2x在R上单调递增,所以f(x)具有M性质;对于B,f(x)的定义域为R,g(x)=exx2,g(x)=exx2+2exx=ex(x2+2x)0在R上不恒成立,所以g(x)在R上不单调递增,所以f(x)不具有M性质;对于C,f(x)的定义域为R,g(x)=ex3-x=e3x在R上单调递减,所以f(x)不具有M性质;对于D,f(x)的定义域为R,g(x)=excosx,g(x)=excosx-exsinx=ex(cosx-sinx)0在R上不恒成立,所以g(x)在R上不单调递增,所以f(x)不具有M性质.故选A.12.D解析 由已知得,f(x)=3x2-12=3(x2-4)=3(x+2)(x-2).于是当x2时,f(x)0;当-2x2时,f(x)0,则函数f(x)在(0,+)上是增函数,则f(x)f(0)=1,则f(x)在(0,+)上没有零点,不满足题意,舍去.当a0时,令f(x)=0及x0,得x=a3,则当x0,a3时,f(x)0,因此函数f(x)的单调递减区间是0,a3,单调递增区间是a3,+,在x=a3处f(x)取得极小值fa3=-a327+1.而函数f(x)在(0,+)内有且只有一个零点,所以fa3=-a327+1=0,解得a=3,因此f(x)=2x3-3x2+1,则f(x)=2x(3x-3).令f(x)=0,结合x-1,1,得x=0或x=1.而当x(-1,0)时,f(x)0,当x(0,1)时,f(x)0,则函数f(x)在(-1,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数,所以f(x)max=f(0)=1.又f(-1)=-4,f(1)=0,所以f(x)min=-4,故f(x)在-1,1上的最大值与最小值的和为-3.14.-1,12解析 因为f(-x)=-x3+2x+e-x-ex=-f(x),f(0)=0,所以f(x)是奇函数,则f(a-1)+f(2a2)0可化为f(2a2)f(1-a).又f(x)=3x2-2+ex+e-x3x2-2+2exe-x=3x20,所以f(x)在R上单调递增,则2a21-a,即-1a12.15.C解析 由题知y=lnx+1,所以所求切线的斜率k=lne+1=2,所以切线方程为y-e=2(x-e),即y=2x-e,故选C.16.A解析函数f(x)=2x-alnx,f(x)=2-ax,f(1)=2-a=1,解得a=1.故选A.17.B解析 由y=ex求导得y=ex,切线斜率为ex0,切线方程为y-ex0=ex0(x-x0),当x=0时,y=-x0ex0+ex0=(1-x0)ex01.故选B.18.C解析 令g(x)=f(x)-2x2+x-1,则g(x)=f(x)-4x+10,所以g(x)在R上单调递减.又g(3)=f(3)-232+3-1=0,所以原不等式等价于g(x)3,所以不等式f(x)3.故选C.19.D解析 设切点坐标为(a,ea-1+a),由y=(ex-1+x)=exe+1=ex-1+1,知切线的斜率k=ea-1+1,故切线方程为y-ea-1-a=(ea-1+1)(x-a),又切线过原点,所以-ea-1-a=(ea-1+1)(-a),解得a=1,故切线方程为y=2x.故选D.20.D解析 因为f(x)=2ef(e)x-1e,所以f(e)=2ef(e)e-1e,得f(e)=1e,所以f(x)=2x-1e,令f(x)=0,得x=2e,所以f(x)的极大值为f(2e)=2ln2e-2=2ln2,故选D.21.D解析 由题得当x0时,f(x)=1+12cosx0,所以函数f(x)在0,+)上单调递增,由于函数f(x)是偶函数,所以函数f(x)在(-,0)上单调递减.由不等式f(x)f(2x-1),得|x|2x-1|,两边平方,解得13x0在R上恒成立,所以g(x)g(2),即f(1)f(2)e2.故选A.23.A解析 依题意可知,在0,1上,f(x)max-f(x)mina-2,且a2,f(x)=(ax-1)lna+2x,所以当x0时,f(x)0,函数f(x)在0,1上单调递增,则f(x)max=f(1)=a+1-lna,f(x)min=f(0)=1,所以f(x)max-f(x)min=a-lna,所以a-lnaa-2,解得ae2.故选A.24.54解析 由y=ax2,得y=2ax,则切线的斜率k=2a,又切线与直线2x-y-6=0平行,所以2a=2,得a=1.所以点P(1,1)到直线y=-a4=-14的距离d=1+14=54.25.-4解析 由函数f(x)的解析式可得f(x)=3x2-6x,令f(x)=0,可得x1=0,x2=2,由题意可知函数f(x)的极大值或极小值为0,即f(0)=-a=0,得a=0或f(2)=8-12-a=0,得a=-4,因为a0,所以a=-4.26.12解析 由题得f(x)=-2x-3,所以f(x)的图像在点(a,a-2)处的切线方程为y-a-2=-2a-3(x-a).令x=0,得y=3a-2,令y=0,得x=3a2,所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为123a-23a2=3,得a=34,所以loga32=log343412=12.
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