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第六节函数的图象及其应用突破点一函数的图象1利用描点法画函数图象的流程2利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换yf(x)yf(xa)；yf(x)yf(x)b.(2)伸缩变换yf(x)yAf(x)(3)对称变换yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)(4)翻折变换yf(x)yf(|x|)；yf(x)y|f(x)|.一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)函数yf(1x)的图象，可由yf(x)的图象向左平移1个单位得到()(2)函数yf(x)的图象关于y轴对称即函数yf(x)与yf(x)的图象关于y轴对称()(3)当x(0，)时，函数yf(|x|)的图象与y|f(x)|的图象相同()(4)若函数yf(x)满足f(1x)f(1x)，则函数f(x)的图象关于直线x1对称()答案：(1)(2)(3)(4)二、填空题1函数f(x)的图象向左平移1个单位长度再向上平移1个单位，得到ylog2x的图象，则f(x)_.答案：f(x)log2(x1)12.若函数f(x)的图象如图所示，则f(3)_.解析：由图象可得ab3，ln(1a)0，得a2，b5，f(x)故f(3)2(3)51.答案：13若关于x的方程|x|ax只有一个解，则实数a的取值范围是_答案：(0，)考法一作函数的图象例1分别作出下列函数的图象：(1)y|lg x|；(2)y2x2；(3)yx22|x|1.解(1)y图象如图所示(2)将y2x的图象向左平移2个单位图象如图所示(3)y图象如图所示方法技巧函数图象的画法考法二函数图象的识别例2(1)(2018全国卷)函数yx4x22的图象大致为()(2)(2019郴州一中月考)如图，在OAB中，A(4,0)，B(2,4)，过点P(a，0)且平行于OB的直线l与线段AB交于点Q，记四边形OPQB的面积为yS(a)，则函数yS(a)的大致图象为()解析(1)法一：令f(x)x4x22，则f(x)4x32x，令f(x)0，得x0或x，由f(x)0知在，上函数f(x)单调递增；由f(x)2，所以排除C选项故选D.(2)由题意可知直线l的斜率为2，设其方程为y2(xa)，0a4.由两点式可得AB：y2x8，联立方程得Q.结合四边形OPQB为梯形，因此其面积yS(a)44(4a)(4a)(4a)28.故选D.答案(1)D(2)D方法技巧有关函数图象识别问题的解题思路(1)由解析式确定函数图象由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复(2)由实际情景探究函数图象关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题1.(2018浙江高考)函数y2|x|sin 2x的图象可能是()解析：选D由y2|x|sin 2x知函数的定义域为R，令f(x)2|x|sin 2x，则f(x)2|x|sin(2x)2|x|sin 2x.f(x)f(x)，f(x)为奇函数f(x)的图象关于原点对称，故排除A、B.令f(x)2|x|sin 2x0，解得x(kZ)，当k1时，x，故排除C，选D.2.已知有四个平面图形，分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆垂直于x轴的直线l：xt(0ta)从原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(选项中阴影部分)若函数yf(t)的大致图象如图所示，那么平面图形的形状不可能是()解析：选C观察函数图象可得函数yf(t)在0，a上是增函数，即说明随着直线l的右移，扫过图形的面积不断增大再对图象作进一步分析，图象首先是向下凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越快，然后是向上凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越慢根据这一点很容易判定C项不符合这是因为在C项中直线l扫到矩形部分时，面积会呈直线上升3.作出下列函数的图象：(1)y|x|；(2)y|log2(x1)|；(3)y.解：(1)作出yx的图象，保留yx图象中x0的部分，加上yx的图象中x0部分关于y轴的对称部分，即得y|x|的图象，如图实线部分(2)将函数ylog2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y|log2(x1)|的图象，如图所示(3)y2，故函数图象可由y的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图突破点二函数图象的应用问题利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解考法一利用函数图象研究函数的性质例1已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，递减区间是(1,1)Df(x)是奇函数，递增区间是(，0)解析将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值得f(x)画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(1,1)上单调递减答案C方法技巧破解此类问题的关键是化简函数的解析式，并能画出函数的草图，通过观察图象，即可得出正确的选项 考法二利用函数图象求解不等式例2若不等式(x1)20，且a1)在x(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为()A(1,2B.C(1，) D(，2)解析要使当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，只需函数y(x1)2在(1,2)上的图象在ylogax的图象的下方即可当0a1时，如图，要使x(1,2)时，y(x1)2的图象在ylogax的图象的下方，只需(21)2loga2，即loga21，解得1a2，故实数a的取值范围是(1,2答案A方法技巧利用函数图象求解不等式的思路当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解 考法三利用图象解决方程根的问题例3(2019洛阳模拟)已知函数f(x)则关于x的方程xf(x)0在2，2上的根的个数为()A3B4C5 D6解析分别作出yf(x)，yx的图象，如图，可知函数f(x)的图象与直线yx在 2,2上有4个交点，所以方程xf(x)0在2,2上的根的个数为4，选B.答案B方法技巧利用函数的图象解决方程根问题的思路当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标 1.已知f(x)2x1，g(x)1x2，规定：当|f(x)|g(x)时，h(x)|f(x)|；当|f(x)|g(x)时，h(x)g(x)，则h(x)()A有最小值1，最大值1B有最大值1，无最小值C有最小值1，无最大值D有最大值1，无最小值解析：选C如图，画出y|f(x)|2x1|与yg(x)1x2的图象，它们交于A，B两点由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|g(x)，故h(x)|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|g(x)，故h(x)g(x)综上可知，yh(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值1，无最大值2.设函数yf(x)的图象与y2xa的图象关于直线yx对称，且f(2) f(4)1，则a为()A1 B1 C2 D4解析：选C设(x，y)为yf(x)图象上任意一点，则(y，x)在y2xa的图象上，所以有x2ya，从而有yalog2(x)，所以yalog2(x)，即f(x)alog2(x)，所以f(2)f(4)(alog22)(alog24)(a1)(a2)1，解得a2.故选C.3.已知函数f(x)若f(3a2)f(2a)，则实数a的取值范围是_解析：如图，画出f(x)的图象，由图象易得f(x)在R上单调递减，f(3a2)2a，解得3a1.答案：(3,1)4.已知f(x)(x1)|x1|，若关于x的方程f(x)xm有三个不同的实数解，则实数m的取值范围为_解析：因为f(x)(x1)|x1|在同一平面直角坐标系内作出yf(x)，yxm的图象，如图，当直线与抛物线相切时，联立方程组得x2xm10，14(m1)54m0，解得m，方程f(x)xm有三个不同的实数解就是直线与抛物线有三个交点，由图可知1m.答案：
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