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课时分层作业 二十四正弦定理和余弦定理一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=, c=2,cos A=,则b等于()A.B.C.2D.3【解析】选D.在ABC中由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A,即5=b2+4-,解得b=3或b=-(舍去).2.(2018潍坊模拟)在ABC中,cos2=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则ABC的形状为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.因为cos2=,cos2=,所以(1+cos B)c=a+c,所以a=cos Bc=,所以2a2=a2+c2-b2,所以a2+b2=c2,所以ABC为直角三角形.3.在ABC中,已知b=40,c=20,C=60,则此三角形的解的情况是()A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定【解析】选C.因为=,所以sin B=1,故此三角形无解.4.(2017山东高考)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A【解题指南】逆用两角和的正弦公式将原式化简,再结合正弦定理去判断.【解析】选A.2sin Acos C+cos Asin C=sin Acos C+(sin Acos C+cos Asin C)=sin Acos C+sin B=sin B+2sin BcosC,即sin Acos C=2sin Bcos C,由于ABC为锐角三角形,所以cos C0,sin A=2sin B,由正弦定理可得a=2b.5.(2018长沙模拟)在ABC中,A=,b2sin C=4sin B,则ABC的面积为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.因为b2sin C=4sin B,所以b2c=4b,即bc=4,故SABC=bcsin A=2.【变式备选】在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=, a=3,SABC=2,则b的值为()A.6B.3C.2D.2或3【解析】选D.因为SABC=2=bcsin A,所以bc=6,又因为sin A=,所以cos A=,又a=3,由余弦定理得9=b2+c2-2bccos A=b2+c2-4,b2+c2=13,可得b=2或b=3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2017全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C +ccos A,则B=_.【解析】由正弦定理可得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,所以cos B=,又因为0B,所以B=.答案:7.(2018杭州模拟)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=, b=,ABC的面积为,则c=_,B=_.【解析】因为A=,b=,ABC的面积为=bcsin A=c,所以解得:c=1+,所以由余弦定理可得:a=2,可得:cos B= =,又0B,故B=.答案:1+8.设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B,则cos B的值为_.【解析】因为A=2B,=,b=3,c=1,所以=,可得a=6cos B,由余弦定理可得:a=6,所以a=2,所以cos B=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2018成都模拟)已知三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin 2A =cos 2A,且角A为锐角.(1)求三角形内角A的大小.(2)若a=5,b=8,求c的值.【解析】(1)由题意,sin 2A=cos 2A,即tan 2A=.所以2A=或者2A=,因为角A为锐角,所以A=.(2)由(1)可知A=,a=5,b=8;由余弦定理,2bccos A=c2+b2-a2,可得:c2-8c+39=0,解得c=4+3或者4-3.10.(2017全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=0,a=2,b=2. (1)求c.(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.【解析】(1)因为sin A+cos A=0,所以sin A=-cos A,所以tan A=-.因为A(0,),所以A=.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,代入a=2,b=2得c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去)或c=4,所以c=4.(2)由(1)知c=4.因为c2=a2+b2-2abcos C,所以16=28+4-222cos C,所以cos C=,所以sin C=,所以tan C=.在RtCAD中,tan C=,所以=,即AD=.则SADC=2=,由(1)知SABC=bcsin A=24=2,所以SABD=SABC-SADC=2-=.1.(5分)(2016全国卷)在ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A=()A.B.C.D.【解析】选D.设BC边上的高为AD,且AD=m,因为B=,则BD=m,AB=m,又因为AD=BC,所以DC=2m,AC=m,由正弦定理=得sinBAC=.【变式备选】设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,c=2,cos A=且bc,则b等于()A.3B.2C.2D.【解析】选C.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,即4=b2+12-6bb2-6b+8=0 (b-2)(b-4)=0,由bc,得b=2.2.(5分)在ABC中,若=且(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则ABC的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.钝角三角形【解析】选C.由正弦定理得=,又由已知得=,故b=c,又因为(b+c+a)(b+c-a)=3bc,即(b+c)2-a2=3bc,故b2+c2-a2=bc,所以cos A=,因为0A,所以A=,故ABC是等边三角形.3.(5分)(2018大连模拟)如图,在四边形ABCD中,ABD=45,ADB=30, BC=1,DC=2,cosBCD=,则BD=_;三角形ABD的面积为_.【解析】在CBD中,由余弦定理,可得BD=2,在ABD中,利用正弦定理,可得AD=2-2,所以三角形ABD的面积为2 (2-2)=-1.答案:2-14.(12分)(2018泉州模拟)已知a,b,c分别是ABC中角A,B,C的对边,acsin A +4sin C=4csin A. (1)求a的值.(2)圆O为ABC的外接圆(O在ABC内部),OBC的面积为,b+c=4,判断ABC的形状,并说明理由.【解析】(1)由正弦定理可知,sin A=,sin C=,则acsin A+4sin C=4csin Aa2c+4c=4ac,因为c0,所以a2c+4c=4aca2+4=4a(a-2)2=0,可得a=2.(2)设BC的中点为D,则ODBC,所以SOBC=BCOD.又因为SOBC=,BC=2,所以OD=,在RtBOD中,tanBOD=,又0BOD180,所以BOD =60,所以BOC=2BOD=120,因为O在ABC内部,所以A=BOC=60,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A.所以4=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,又b+c=4,所以bc=4,所以b=c=2,所以ABC为等边三角形.5.(13分)(2017全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ABC的面积为. (1)求sin Bsin C.(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.【解析】(1)因为ABC面积S=且S=bcsin A,所以=bcsin A,所以a2=bcsin2A,由正弦定理得sin2A=sin Bsin Csin2A,由sin A0得sin Bsin C=.(2)由(1)得sin Bsin C=,又cos Bcos C=,因为A+B+C=,所以cos A = cos=-cos=sin Bsin C-cos Bcos C = ,又因为A,所以A=,sin A=,cos A=,由余弦定理得a2=b2+c2-bc=9,由正弦定理得b=sin B,c=sin C,所以bc=sin Bsin C=8,由得b+c=,所以a+b+c=3+,即ABC的周长为3+.
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