资源描述
第十六讲坐标系与参数方程1.(2018吉林长春质量检测)在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为2(1+3sin2)=4,曲线C2:x=2+2cos,y=2sin(为参数).(1)求曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程;(2)极坐标系中两点A(1,0),B2,0+2都在曲线C1上,求112+122的值.2.已知曲线C的极坐标方程为=2,在以极点为直角坐标原点O,极轴为x轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=22t,y=35+22t(t为参数).(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)在平面直角坐标系中,设曲线C经过伸缩变换:x=12x,y=y,得到曲线C,若M(x,y)为曲线C上任意一点,求点M到直线l的最小距离.3.(2018山西八校第一次联考)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程是x=3+5cos,y=4+5sin(为参数).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)设l1:=6,l2:=3,若l1,l2与曲线C分别交于异于原点的A,B两点,求AOB的面积.4.(2018湖北武汉模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=2t-1,y=-4t-2(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=21-cos.(1)求曲线C2的直角坐标方程;(2)设M1是曲线C1上的点,M2是曲线C2上的点,求|M1M2|的最小值.5.(2018成都第一次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=2+12t,y=2+32t(t为参数).在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为sin2+4sin=.(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)已知点M在直角坐标系中的坐标为(2,2),若直线l与曲线C相交于不同的两点A,B,求|MA|MB|的值.6.(2018广西南宁二中、柳州高中第二次联考)在直角坐标系中,曲线C的参数方程为x=3cos,y=2sin(为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线D的极坐标方程为=4sin-6.(1)写出曲线C的极坐标方程以及曲线D的直角坐标方程;(2)若过点A22,4(极坐标)且倾斜角为3的直线l与曲线C交于M,N两点,弦MN的中点为P,求|AP|AM|AN|的值.7.(2018河南洛阳第一次统考)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=t,y=m+t(t为参数,mR),以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2=33-2cos2(0).(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)已知点P是曲线C2上一点,若点P到曲线C1的最小距离为22,求m的值.8.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1过点P(a,1),其参数方程为x=a+2t2,y=1+2t2(t为参数,aR).以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为cos2+4cos-=0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)已知曲线C1与曲线C2交于A,B两点,且|PA|=2|PB|,求实数a的值.答案精解精析1.解析(1)由题意可得,曲线C1的直角坐标方程为x24+y2=1,C2的普通方程为(x-2)2+y2=4.(2)由点A,B在曲线C1上,得12=41+3sin20,22=41+3sin20+2,则112=1+3sin204,122=1+3cos204,因此112+122=1+3sin204+1+3cos204=54.2.解析(1)由x=22t,y=35+22t消去参数t,得y=x+35.直线l的普通方程为x-y+35=0.x=cos,y=sin,x2+y2=2=4.曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4.(2)由x=12x,y=y得x=2x,y=y,代入方程x2+y2=4,得x2+y24=1.已知M(x,y)为曲线C上任意一点,故可设M(cos,2sin),其中为参数.则点M到直线l的距离d=|cos-2sin+35|2=|5cos(+)+35|2,其中tan=2.点M到直线l的最小距离为35-52=10.3.解析(1)将曲线C的参数方程化为普通方程为(x-3)2+(y-4)2=25,即x2+y2-6x-8y=0.曲线C的极坐标方程为=6cos+8sin.(2)设A1,6,B2,3.把=6代入=6cos+8sin,得1=4+33,A4+33,6,把=3代入=6cos+8sin,得2=3+43,B3+43,3.SAOB=1212sinAOB=12(4+33)(3+43)sin3-6=12+2534.4.解析(1)=21-cos,-cos=2,即=cos+2.x=cos,2=x2+y2,x2+y2=(x+2)2,化简得y2-4x-4=0.曲线C2的直角坐标方程为y2-4x-4=0.(2)x=2t-1,y=-4t-2(t为参数),2x+y+4=0.曲线C1的普通方程为2x+y+4=0,表示直线2x+y+4=0.M1是曲线C1上的点,M2是曲线C2上的点,|M1M2|的最小值等于点M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值.不妨设M2(r2-1,2r),点M2到直线2x+y+4=0的距离为d,则d=2|r2+r+1|5=2r+122+345325=3510,当且仅当r=-12时取等号.|M1M2|的最小值为3510.5.解析(1)由x=2+12t,y=2+32t消去参数t,可得y=3(x-2)+2,直线l的普通方程为3x-y+2-23=0.sin2+4sin=,2sin2+4sin=2.sin=y,2=x2+y2,曲线C的直角坐标方程为x2=4y.(2)将x=2+12t,y=2+32t代入抛物线方程x2=4y中,可得2+12t2=42+32t,即t2+(8-83)t-16=0.0,且点M在直线l上,此方程的两个实数根t1,t2为直线l与曲线C的交点A,B对应的参数,t1t2=-16,|MA|MB|=|t1t2|=16.6.解析(1)由题意可得曲线C的普通方程为x29+y24=1,将x=cos,y=sin代入曲线C的普通方程可得,曲线C的极坐标方程为2cos29+2sin24=1.因为曲线D的极坐标方程为=4sin-6,所以2=4sin-6=432sin-12cos=23sin-2cos,又2=x2+y2,x=cos,y=sin,所以x2+y2=23y-2x.所以曲线C的极坐标方程为2cos29+2sin24=1,曲线D的直角坐标方程为x2+y2+2x-23y=0.(2)因为点A的极坐标为22,4,所以x=22cos4=2,y=22sin4=2,所以A的直角坐标为(2,2).因为直线l过点A(2,2)且倾斜角为3,所以直线l的参数方程为x=2+tcos3,y=2+tsin3(t为参数),代入x29+y24=1可得,314t2+(8+183)t+16=0,设M,N对应的参数分别为t1,t2,由一元二次方程根与系数的关系得,t1+t2=-32+72331,t1t2=6431,所以|AP|AM|AN|=t1+t22|t1t2|=4+9316.7.解析(1)由曲线C1的参数方程消去参数t,可得C1的普通方程为x-y+m=0.由曲线C2的极坐标方程得32-22cos2=3,0,曲线C2的直角坐标方程为x23+y2=1(0y1).(2)设曲线C2上任意一点P的坐标为(3cos,sin),0,则点P到曲线C1的距离d=|3cos-sin+m|2=2cos+6+m2.0,cos+6-1,32,2cos+6-2,3.由点P到曲线C1的最小距离为22得,若m+30,则m-2=4,即m=6;若m-20,当|m+3|m-2|,即m2-32时,-m+2=4,即m=-2,不符合题意,舍去;当|m+3|m-2|,即m0,即a0,t1+t2=22,t1t2=2-8a,根据参数方程中参数的几何意义,可知|PA|=|t1|,|PB|=|t2|,由|PA|=2|PB|得t1=2t2或t1=-2t2,当t1=2t2时,有t1+t2=3t2=22,t1t2=2t22=2-8a,解得a=1360,符合题意;当t1=-2t2时,有t1+t2=-t2=22,t1t2=-2t22=2-8a,解得a=940,符合题意.综上所述,a=136或a=94.
展开阅读全文