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第二章学业质量标准检测本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1下列命题中正确的是(D)A B0C00 D解析起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，；，是一对相反向量，它们的和应该为零向量，0；002已知点P，Q是ABC所在平面上的两个定点，且满足0,2，若|，则正实数(A)A B C1 D解析满足0，点P是线段AC的中点2，22，点Q是线段AB的中点，|，3如果a、b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是(D)AabBab1Cab D|a|b|解析两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A、C不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则ab1不成立，所以选项B不正确；|a|b|1，则选项D正确4如图，ab等于(C)A2e14e2B4e12e2Ce13e2D3e1e2解析abe13e25如图，正方形ABCD中，点E、F分别是DC、BC的中点，那么(D)ABCDAD解析()6()()等于(A)A0 B12C12 D12解析a0.(a0为a的单位向量)原式即(1a01b0)(2a02b0)12(ab)07已知点A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为(A)A BC D解析本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算由条件知(2,1)，(5,5)，10515|5，则在方向上的投影为|cos，故选A8已知a、b是不共线的向量，ab，ab(，R)，那么A、B、C三点共线应满足的条件是(D)A2 B1C1 D1解析A，B，C三点共线即存在实数k，使得k，即abk(ab)，所以有aka，bkb，即k,1k，得19设a、b是两个非零向量(C)A若|ab|a|b|，则abB若ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得abD若存在实数，使得ab，则|ab|a|b|解析利用排除法可得选项C是正确的，|ab|a|b|，则a、b共线，即存在实数，使得ab.如选项A：|ab|a|b|时，a、b可为异向的共线向量；选项B：若ab，由正方形得|ab|a|b|不成立；选项D；若存在实数，使得ab，a，b可为同向的共线向量，此时显然|ab|a|b|不成立10(山东高考)已知非零向量m、n满足4|m|3|n|，cos.若n(tmn)，则实数t的值为(B)A4 B4C D解析由n(tmn)可得n(tmn)0，则tmnn20，所以t334.故选B11(2018天津理，8)如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若点E为边CD上的动点，则的最小值为(A)A BC D3解析如图，以D为坐标原点建立直角坐标系连接AC，由题意知CADCAB60，ACDACB30，则D(0,0)，A(1,0)，B，C(0，)设E(0，y)(0y)，则(1，y)， y2y2， 当y时，有最小值故选A12已知点O为ABC所在平面内一点，且222222，则点O一定为ABC的(D)A外心 B内心C重心 D垂心解析2222，2222，()()()()，()()，()0，()0，20，0，同理可得：，O为ABC的垂心第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13已知向量a、b，且a2b，5a6b，7a2b，则A、B、C、D四点中一定共线的三点是_A、B、D_解析(5a6b)(7a2b)2a4b2(a2b)214设向量a，b，c满足abc0，(ab)c，ab，若|a|1，则|a|2|b|2|c|2的值是_4_解析由于ab，由此画出以a，b为邻边的矩形ABCD，如图所示，其中，a，b，abc0，c，ab(ab)c，矩形的两条对角线互相垂直，则四边形ABCD为正方形|a|b|1，|c|，|a|2|b|2|c|2415若对n个向量a1，a2，an存在n个不全为零的实数k1，k2，kn，使得k1a1k2a2knan0成立，则称向量a1，a2，an为“线性相关”依此规定，能说明a1(1,2)，a2(1，1)，a3(2,10)“线性相关”的实数k1，k2，k3依次可以取_4,2,1_(写出一组数值即可，不必考虑所有情况)解析由k1a1k2a2k3a30得k14k3，k22k3，令k3c(c0)，则k14c，k22c16(2017天津理科)在ABC中，A60，AB3，AC2，若2，(R)，且4，则的值为解析由题意，知|3，|2，32cos603，()，()()223322254，解得三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)已知向量a(1,2)，b(x,1)(1)若a，b为锐角，求x的范围；(2)当(a2b)(2ab)时，求x的值解析(1)若a，b为锐角，则ab0且a、b不同向abx20，x2当x时，a、b同向x2且x(2)a2b(12x,4)，2ab(2x,3)(2x1)(2x)340即2x23x140解得：x或x218(本题满分12分)如图，AOB，动点A1，A2与B1，B2分别在射线OA，OB上，且线段A1A2的长为1，线段B1B2的长为2，点M，N分别是线段A1B1，A2B2的中点(1)用向量与表示向量(2)求向量的模解析(1)，将2，所以()；(2)|2(222)(1212cos4)|19(本题满分12分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1,2)(1)若|b|2，且ab，求b的坐标(2)若|c|，且2ac与4a3c垂直，求a与c的夹角解析(1)设b(x，y)，因为ab，所以y2x又因为|b|2，所以x2y220由联立，解得b(2,4)或b(2，4)(2)由已知(2ac)(4a3c)，(2ac)(4a3c)8a23c22ac0，又|a|，|c|，解得ac5，所以cos，0，所以a与c的夹角20(本题满分12分)已知a和b是两个非零的已知向量，当atb(tR)的模取最小值时(1)求t的值；(2)已知a与b成45角，求证：b与atb(tR)垂直解析(1)设a与b的夹角为，则|atb|2|a|2t2|b|22tab|a|2t2|b|22|a|b|tcos|b|2(tcos)2|a|2(1cos2)当tcos时，|atb|取最小值|a|sin(2)a与b的夹角为45，cos，从而t，b(atb)abt|b|2|a|b|b|20，所以b与atb(tR)垂直，即原结论成立21(本题满分12分)在ABC中，设(1)求证：ABC为等腰三角形；(2)若|2，且B，求的取值范围解析(1)证明：，()0又0则()，()()0220，|2|2|，即ABC为等腰三角形(2)解：B，cosB，设|a|2，|24，则有a2a22a2cosB4a2，则a2cosB2又cosB，2，22(本题满分12分)已知向量a，b满足|a|b|1，|kab|akb|(k0，kR)(1)求ab关于k的解析式f(k)(2)若ab，求实数k的值(3)求向量a与b夹角的最大值解析(1)由已知|kab|akb|，有|kab|2(|akb|)2，k2a22kabb23a26kab3k2b2又因为|a|b|1，得8kab2k22，所以ab，即f(k)(k0)(2)因为ab，k0，所以ab0，则a与b同向因为|a|b|1，所以ab1，即1，整理得k24k10，所以k2，所以当k2时，ab(3)设a，b的夹角为，则cosab(k)()22当，即k1时，cos取最小值，此时
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