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考查角度1三角函数图象与性质的综合应用分类透析一三角函数的图象及解析式例1 已知函数f(x)=Asin(x+)其中A0,0,00,0,|2的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(2a-3c)cos B=3bcos C,求fA2+sin C的取值范围.分析 (1)先利用函数的图象,求出A,再通过函数的周期求出,最后通过函数的图象经过点6,2,求出,即可解出函数f(x)的解析式.(2)由(2a-3c)cos B=3bcos C,结合正弦定理,求出cos B,利用函数的解析式求fA2+sin C的表达式,通过A的范围求出函数的取值范围.解析 (1)由图象知,A=2,T=223-6=,=2T=2.由图象可知,f6=2,2cos26+=2,cos3+=1,3+=2k,=-3+2k,kZ.又|0)的最小正周期为.(1)求函数f(x)的单调递增区间.(2)将函数f(x)的图象向左平移6个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在0,b(b0)上至少含有10个零点,求b的最小值.解析 (1)f(x)=2sin xcos x+3(2sin2x-1)=sin 2x-3cos 2x=2sin2x-3.由最小正周期为,得=1,所以f(x)=2sin2x-3.由2k-22x-32k+2,kZ,整理得k-12xkx+512,kZ,所以函数f(x)的单调递增区间是k-12,k+512,kZ.(2)将函数f(x)的图象向左平移6个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=2sin 2x+1的图象,所以g(x)=2sin 2x+1.令g(x)=0,得x=k+712或x=k+1112(kZ).若y=g(x)在0,b上至少含有10个零点,则b不小于第10个零点的横坐标.所以b的最小值为4+1112=5912.3.(2015年山东卷,理16改编)已知函数f(x)=3sin 2x+cos 2x+3.(1)求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间;(2)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a=3,f(A)=4,求ABC周长的最大值.解析 (1)f(x)=3sin 2x+cos 2x+3=2sin2x+6+3,函数f(x)的最小正周期T=22=.由2k+22x+62k+32,kZ,得k+6xk+23,kZ,函数f(x)的单调递减区间为k+6,k+23,kZ.(2)由f(A)=4,得2sin2A+6+3=4,sin2A+6=12.0A,62A+60)的最小正周期为.(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)22,求x的取值范围.解析 (1)f(x)=3cos2x+sin xcos x-32=32(1+cos 2x)+12sin 2x-32=32cos 2x+12sin 2x=sin2x+3, 因为f(x)的最小正周期为,所以=1,故f(x)=sin2x+3.由2+2k2x+332+2k,kZ,得12+kx712+k,kZ,故函数f(x)的单调递减区间为12+k,712+k,kZ.(2)因为f(x)22,所以sin2x+322.由正弦函数的性质得4+2k2x+334+2k,kZ,解得-24+kx524+k,kZ.故x的取值范围为x|-24+kx0)的最小正周期为.(1)求的值及函数f(x)的单调递增区间.(2)求f(x)在区间0,712上的最大值和最小值.解析 (1)f(x)=sin2x-6+2cos2x-1=sin 2xcos6-cos 2xsin6+cos 2x=sin 2x32+cos 2x12=sin2x+6,因为f(x)的最小正周期为,所以=1,故f(x)=sin2x+6.由-2+2k2x+62+2k,得-3+kx6+k,kZ.故f(x)的单调递增区间为-3+k,6+k,kZ.(2)由(1)得f(x)=sin2x+6,因为0x712,所以62x+643,所以f(x)在区间0,712上的最大值为1,最小值为-32.4.(2018年湖北模拟)已知函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|2的图象(部分)如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间-12,12上的最大值与最小值.解析 (1)由图可知A=2,T=456-13=2,=2T=.由f13=2sin3+=2,可得3+=2k+2,解得=2k+6,kZ.又|2,=6,f(x)=2sinx+6.(2)x-12,12,x+6-3,23,-32sinx+62,即f(x)的最大值是2,最小值是-3.
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