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考点规范练24平面向量的概念及线性运算一、基础巩固1.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使a|a|=b|b|成立的充分条件是()A.a=-bB.abC.a=2bD.ab,且|a|=|b|答案C解析由a|a|表示与a同向的单位向量,b|b|表示与b同向的单位向量,故只要a与b同向即可,观察可知C满足题意.2.设E,F分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点,且AE=12AB,BF=23BC.如果EF=mAB+nAC(m,n为实数),那么m+n的值为()A.-12B.0C.12D.1答案C解析如图,EF=EA+AC+CF=-12AB+AC-13BC=-12AB+AC-13(BA+AC)=-16AB+23AC.EF=mAB+nAC,m=-16,n=23,m+n=12.故选C.3.设向量a,b不共线,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b.若A,B,D三点共线,则实数p的值是()A.-2B.-1C.1D.2答案B解析BC=a+b,CD=a-2b,BD=BC+CD=2a-b.又A,B,D三点共线,AB,BD共线.AB=BD,即2a+pb=(2a-b).2=2,p=-.=1,p=-1.4.如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,AB=a,AC=b,则AD=()A.a-12bB.12a-bC.a+12bD.12a+b答案D解析连接CD(图略),由点C,D是半圆弧的三等分点,得CDAB,且CD=12AB=12a,所以AD=AC+CD=b+12a.5.已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且2OP=2OA+BA,则()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的反向延长线上C.点P在线段AB的延长线上D.点P不在直线AB上答案B解析因为2OP=2OA+BA,所以2AP=BA.所以点P在线段AB的反向延长线上,故选B.6.(2018陕西咸阳月考)在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是()A.矩形B.平行四边形C.梯形D.以上都不对答案C解析AD=AB+BC+CD=-8a-2b=2(-4a-b)=2BC,ADBC.又AB与CD不平行,四边形ABCD是梯形.7.若点M是ABC所在平面内的一点,且满足5AM=AB+3AC,则ABM与ABC的面积比为()A.15B.25C.35D.45答案C解析设AB的中点为D.由5AM=AB+3AC,得3AM-3AC=2AD-2AM,即3CM=2MD.如图,故C,M,D三点共线,且MD=35CD,也就是ABM与ABC对于边AB上的两高之比为35,则ABM与ABC的面积比为35,选C.8.(2018河南洛阳月考)已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是ABC的重心,动点P满足OP=1312OA+12OB+2OC,则点P一定为ABC的()A.边AB中线的中点B.边AB中线的三等分点(非重心)C.重心D.边AB的中点答案B解析设AB的中点为M,则12OA+12OB=OM,所以OP=13(OM+2OC),即3OP=OM+2OC,OP-OM=2OC-2OP,即MP=2PC.又MP与PC有公共点P,所以P,M,C三点共线,且P是CM上靠近点C的一个三等分点.9.已知A,B,C为圆O上的三点,若AO=12(AB+AC),则AB与AC的夹角为.答案90解析由AO=12(AB+AC)可得O为BC的中点,则BC为圆O的直径,即BAC=90,故AB与AC的夹角为90.10.已知D为ABC的边BC的中点,点P满足PA+BP+CP=0,AP=PD,则实数的值为.答案-2解析如图,由AP=PD,且PA+BP+CP=0,得P为以AB,AC为邻边的平行四边形的顶点,因此AP=-2PD,则=-2.11.如图,在ABC中,已知BAC=3,AB=2,AC=4,点D为边BC上一点,满足AC+2AB=3AD,点E是AD上一点,满足AE=2ED,则BE=.答案2219解析如图,延长AB到F,使AF=2AB,连接CF,则AC=AF.取CF的中点O,连接AO,则AC+2AB=2AO=3AD,A,D,O三点共线,BAC=3,CAO=6,且AOCF,AC=4,AO=23.AD=433.又AE=2ED,AE=2ED=23AD=839.又AB=2,BAE=6,在ABE中,由余弦定理,得BE2=4+6427-2283932=2827.BE=2219.12.在任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,若EF=AB+DC,则+=.答案1解析如图,因为E,F分别是AD与BC的中点,所以EA+ED=0,BF+CF=0.又因为AB+BF+FE+EA=0,所以EF=AB+BF+EA.同理EF=ED+DC+CF.由+得,2EF=AB+DC+(EA+ED)+(BF+CF)=AB+DC,所以EF=12(AB+DC),所以=12,=12.所以+=1.二、能力提升13.已知在ABC中,D是AB边上的一点,CD=CA|CA|+CB|CB|,|CA|=2,|CB|=1.若CA=b,CB=a,则用a,b表示CD为()A.23a+13bB.13a+23bC.13a+13bD.23a+23b答案A解析由题意知,CD是ACB的平分线,故CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23(CB-CA)=23CB+13CA=23a+13b,故选A.14.在ABC中,点O在线段BC的延长线上,且与点C不重合.若AO=xAB+(1-x)AC,则实数x的取值范围是()A.(-,0)B.(0,+)C.(-1,0)D.(0,1)答案A解析设BO=BC(1),则AO=AB+BO=AB+BC=(1-)AB+AC.又AO=xAB+(1-x)AC,所以xAB+(1-x)AC=(1-)AB+AC.所以=1-x1,得x0,n0,则m+2n的最小值是.答案3解析AD=AB+BD=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC=13mAE+23nAF.D,E,F三点共线,13m+23n=1.m0,n0,m+2n=(m+2n)13m+23n=13+43+2n3m+2m3n53+22n3m2m3n=53+223=3,当且仅当m=n时,等号成立.故m+2n的最小值为3.三、高考预测18.已知e1,e2为平面内两个不共线向量,MN=2e1-3e2,NP=e1+6e2.若M,N,P三点共线,则=.答案-4解析因为M,N,P三点共线,所以存在实数k使得MN=kNP,所以2e1-3e2=k(e1+6e2).又e1,e2为平面内两个不共线的向量,所以2=k,-3=6k,解得=-4.
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