高中数学 第2章 函数概念与基本初等函数I 2.6 函数的奇偶性和周期性习题 苏教版必修1.doc

函数的奇偶性和周期性（答题时间：50分钟）函数的奇偶性和周期性（一）一、填空题1. 设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则_。2. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足（）.若，则_。3. 已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x4）f（x），且在区间0，2上是增函数，比较的大小，用“”连接。_。4. 已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x4）f（x），且在区间0，2上是增函数，若方程f（x）m（m0）在区间8，8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_。5. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为_。6. 设是定义在R上的周期为2的函数，当时，则 。7. 设函数、的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数。则下列结论中正确的是_。是偶函数； 是奇函数；是奇函数； 是奇函数。二、解答题8. 函数是定义在内的奇函数，且。（1）确定函数的解析式；（2）用定义证明在内为增函数；（3）解不等式：。函数的奇偶性和周期性（二）1. 定义在R上的函数f（x）满足：f（x）f（x2）13，f（1）2，则f（99）_。2. 设f（x）是连续的偶函数，且当x0时是单调函数，则满足的所有x之和为_。3. 设函数f（x）x（exaex）（xR）是偶函数，则实数a的值为_。4. 已知函数f（x1）是奇函数，f（x1）是偶函数，且f（0）2，则f（4）_。*5. 设函数f（x）的定义域、值域分别为A、B，且AB是单元集，下列命题：若ABa，则f（a）a；若B不是单元集，则满足ff（x）f（x）的x值可能不存在；若f（x）具有奇偶性，则f（x）可能为偶函数；若f（x）不是常数函数，则f（x）不可能为周期函数；其中，正确命题的序号为_。*6. 设函数f（x）（xR）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=_。*7. 设函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足f（x1x2）；存在正常数a，使f（a）1；求证：（1）f（x）是奇函数；（2）f（x）是周期函数，并且有一个周期为4a。函数的奇偶性和周期性（一）1. 0 解析：是定义在上的奇函数，；的图象关于直线对称，又为奇函数，又的图象关于直线对称，；同理可得，。2. 解析：，又由为奇函数，为偶函数，将代入式得：+式子得：，。3. 解析：由f（x4）f（x）得：，8为函数的最小正周期。，由f（x）在上为增函数，且在上为增函数，所以f（x）在上为增函数。令，得：所以。4. 解析：为定义在R上的奇函数以及f（x4）f（x）可得：的周期为8，的图象关于原点对称，由可得的其中一条对称轴为直线，在区间上为增函数，画出满足条件的的图象如下图：令四个交点分别为A，B，C，D，对应的点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，则A，B两点关于直线对称，x1x2 ，C，D两点关于直线对称，x3x4 ，x1x2x3x45. （1，0）（0，1）解析：为奇函数，由得，又在上为增函数，且，当时，；当时，；当时，；当时，；原不等式的解集为（1，0）（0，1）。6. 1解析：利用周期性，将转化为定义域在上的函数值。是定义在R上的周期为2的函数，又， 。7. 解析：令，由是奇函数，是偶函数可知，即，又的定义域为，所以是奇函数。为偶函数，是偶函数，由偶偶=偶（函数）得：是奇函数（定义域为R，关于原点对称）。是奇函数， 是偶函数故也是偶函数，由奇偶=奇，所以是奇函数（定于域为R）。，且定义域为R，所以是偶函数。8. 解析：本题考查通过函数的单调性和奇偶性来确定函数的解析式，求的值是解本题的关键。（1）解：由已知得： 即解得：，。（2）证明：任意取，在内是增函数。（3）解：，是内的增函数，解得：。函数的奇偶性和周期性（二）1. 解析：由f（x）f（x2）13，知f（x2）f（x4）13，所以f（x4）f（x），即f（x）是周期函数，周期为4.所以f（99）f（3424）f（3）。2. 8 解析：因为f（x）是连续的偶函数，且当x0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f（x），只有两种情况：x；x0，由知x23x30，故两根之和为x1x23，由知x25x30，故两根之和为x3x45，因此满足条件的所有x之和为8。3. 1 解析：设g（x）x，h（x）exaex，因为函数g（x）x是奇函数，则由题意知，函数h（x）exaex为奇函数，又函数f（x）的定义域为R，h（0）0，解得a1。4. 2 解析：依题意有f（x1）f（x1），f（x1）f（x1），所以f（4）f（3）1）f（2）f（11）f（0）2。5. 解析：如f（x）x1，A1，0，B0，1满足AB0，但f（0）0，且满足ff（x）f（x）的x可能不存在，错，正确；如，f（x）1，AR，B1，则f（x）1，AR是偶函数，正确；如f（x）x2k1，A2k1，2k，B0，1，kZ，f（x）是周期函数，但不是常数函数，所以错误。6. 解析：函数f（x） （xR）为奇函数，f（1）=，f（-1）=-，f（1）=，f（0）=0，令x=-1，代入到f（x+2）=f（x）+f（2）中，得：f（1）= f（-1）+ f（2），f（2）= f（1）- f（-1）=1，f（3）= f（1+2）=f（1）+ f（2）= ，f（5）= f（2+3）=f（2）+ f（3）= 7. 证明：（1）不妨令xx1x2，则f（x）f（x2x1）f（x1x2）f（x），f（x）是奇函数；（2）要证f（x4a）f（x），可先计算f（xa），f（x2a），f（xa）fx（a），（f（a）1），f（x2a）f（xa）a，f（x4a）f（x2a）2af（x），故f（x）是以4a为周期的周期函数。