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第五节指数与指数函数A组基础题组1.函数y=ax+2-1(a0且a1)的图象恒过的点是()A.(0,0)B.(0,-1)C.(-2,0)D.(-2,-1)答案C解法一:因为函数y=ax(a0且a1)的图象恒过点(0,1),将该图象向左平移2个单位,再向下平移1个单位得到y=ax+2-1(a0且a1)的图象,所以y=ax+2-1(a0且a1)的图象恒过点(-2,0),选项C正确.解法二:令x+2=0,得x=-2,此时y=a0-1=0,所以y=ax+2-1(a0且a1)的图象恒过点(-2,0),选项C正确.2.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则()A.abcB.acbC.cabD.bca答案A由0.20.6,0.40.40.6,即bc;因为a=20.21,b=0.40.2b.综上,abc.3.(2018北京丰台一模,3)已知abB.-a2bD.a3b3答案A构造函数y=,在(-,0)上是减函数,已知ab,故A正确;-a-b,故B不正确;C.构造函数y=2x,在(-,+)上是增函数,故2a2b,故C不正确;D.构造函数y=x3,在(-,+)上是增函数,故a30,g(x),x0,且a1)的图象如图所示,那么g(x)=()A.12-xB.-12xC.2-xD.-2x答案D由题图知f(1)=,a=, f(x)=12x,由题意得g(x)=-f(-x)=-12-x=-2x,故选D.5.若函数f(x)=a|2x-4|(a0,且a1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是()A.(-,2B.2,+)C.-2,+)D.(-,-2答案B由f(1)=得a2=,又a0,所以a=,因此f(x)=13|2x-4|.根据复合函数的单调性可知f(x)的单调递减区间是2,+).6.函数f(x)=a|x+1|(a0,且a1)的值域为1,+),则f(-4)与f(1)的大小关系是()A.f(-4)f(1)B.f(-4)=f(1)C.f(-4)1. f(-4)=a3, f(1)=a2,由y=ax(a1)的单调性知a3a2,所以f(-4)f(1).7.函数y=|2x-1|在区间(k-1,k+1)上不单调,则k的取值范围是()A.(-1,+)B.(-,1)C.(-1,1)D.(0,2)答案C由于函数y=|2x-1|在(-,0)上递减,在(0,+)上递增,而函数在区间(k-1,k+1)上不单调,所以有0(k-1,k+1),则k-10k+1,解得-1k1.8.已知函数f(x)=1-2-x,x0,2x-1,x0时, f(x)=1-2-x,-f(x)=2-x-1,而-x0,则f(-x)=2-x-1=-f(x);当x0,则f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).综上,函数f(x)是奇函数,又易知其单调递增,故选C.9.化简a-1a+(5a)5+6a6=.答案-a解析由题意可知a0,且a1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).(1)求f(x)的表达式;(2)若不等式1ax+1bx-m0在x(-,1时恒成立,求实数m的取值范围.解析(1)因为f(x)的图象过点A(1,6),B(3,24),所以ba=6,ba3=24,解得a2=4,又a0,所以a=2,则b=3.所以f(x)=32x.(2)由(1)知a=2,b=3,则当x(-,1时,12x+13x-m0恒成立,即m12x+13x在x(-,1时恒成立.因为y=12x与y=13x均为减函数,所以y=12x+13x也是减函数,所以当x=1时,y=12x+13x在(-,1上取得最小值,且最小值为,所以m,即实数m的取值范围是-,56.B组提升题组13.如图,平行四边形OABC的面积为8,对角线ACCO,AC与BO交于点E,某指数函数y=ax(a0,且a1)的图象经过点E,B,则a=()A.2B.3C.2D.3答案A设点E(t,at),则点B的坐标为(2t,2at).点B在函数y=ax的图象上,2at=a2t,at=2.平行四边形OABC的面积=OCAC=at2t=4t.又平行四边形OABC的面积为8,4t=8,t=2,a=2(负值舍去).故选A.14.(2017北京海淀期中)如图,A是函数f(x)=2x的图象上的动点,过点A作直线平行于x轴,交函数g(x)=2x+2的图象于点B,若函数f(x)=2x的图象上存在点C使得ABC为等边三角形,则称A为函数f(x)=2x图象上的好位置点.则函数f(x)=2x的图象上的好位置点的个数为()A.0B.1C.2D.大于2答案B设A,B的纵坐标为m(m0),则A(log2m,m),B(log2m-2,m),|AB|=log2m-log2m+2=2,设C(x0,2x0),ABC是等边三角形,且|AB|=2,点C到直线AB的距离为3,|m-2x|=3.易得C的横坐标等于线段AB中点的横坐标,即x0= (log2m+log2m-2)=log2m-1=log2m2,Clog2m2,m2,m-m2=3,解得m=23,x0=log23.因此,函数f(x)=2x图象上的好位置点的个数为1.故选B.15.已知函数f(x)=x+1(0xb0,若f(a)=f(b),则bf(a)的取值范围是.答案34,2解析函数的图象如图所示.因为ab0,f(a)=f(b),所以12b1且f(a)2.所以bf(a)0且a1)是定义域为R的奇函数.(1)求k的值;(2)若f(1)0,试判断函数f(x)的单调性,并求使不等式f(x2+tx)+f(4-x)0且a1).f(1)0,a-0且a1,0a1,y=ax在R上单调递减,y=a-x在R上单调递增,故f(x)=ax-a-x在R上单调递减.不等式f(x2+tx)+f(4-x)0恒成立可化为f(x2+tx)x-4恒成立,即x2+(t-1)x+40恒成立,=(t-1)2-160,解得-3t5,所求t的取值范围为(-3,5).(3)f(1)=,a-=,即2a2-3a-2=0,a=2或a=- (舍去),g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x)=(2x-2-x)2-2m(2x-2-x)+2.令n=f(x)=2x-2-x,f(x)=2x-2-x为增函数,x1,nf(1)=.令h(n)=n2-2mn+2=(n-m)2+2-m2n32.若m,则当n=m时,h(n)min=2-m2=-2,m=2.若m,舍去.综上可知,m=2.
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