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课时跟踪检测（二十一） 几类不同增长的函数模型层级一学业水平达标1在一次数学试验中，采集到如下一组数据：x2.01.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)()AyabxByabxCyax2b Dya解析：选B在坐标系中描出各点，知模拟函数为yabx.2下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是()Ay50By1 000xCy0.42x1 Dyex解析：选D指数函数yax，在a1时呈爆炸式增长，而且a越大，增长速度越快，选D.3某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用()A一次函数B二次函数C指数型函数 D对数型函数解析：选D由于一次函数、二次函数、指数函数的增长不会后来增长越来越慢，只有对数函数的增长符合4有一组实验数据如下表所示：x12345y1.55.913.424.137下列所给函数模型较适合的是()Aylogax(a1) Byaxb(a1)Cyax2b(a0) Dylogaxb(a1)解析：选C通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A、D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C.5y12x，y2x2，y3log2x，当2x4时，有()Ay1y2y3 By2y1y3Cy1y3y2 Dy2y3y1解析：选B在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2x2，y12x，y3log2x，故y2y1y3.6小明2015年用7 200元买一台笔记本电子技术的飞速发展，笔记本成本不断降低，每过一年笔记本的价格降低三分之一三年后小明这台笔记本还值_元解析：三年后的价格为7 200元答案：7函数yx2与函数yxln x在区间(1，)上增长较快的一个是_解析：当x变大时，x比ln x增长要快，x2要比xln x增长的要快答案：yx28已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系ya(0.5)xb，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件则此厂3月份该产品的产量为_万件解析：ya(0.5)xb，且当x1时，y1，当x2时，y1.5，则有解得y2(0.5)x2.当x3时，y20.12521.75(万件)答案：1.759画出函数f(x)与函数g(x)x22的图象，并比较两者在0，)上的大小关系解：函数f(x)与g(x)的图象如图所示根据图象易得：当0x4时，f(x)g(x)；当x4时，f(x)g(x)；当x4时，f(x)g(x)10燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解：(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v0，代入题中所给公式可得：05log2，解得Q10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位(2)将耗氧量Q80代入题给公式得：v5log25log2815(m/s)即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.层级二应试能力达标1某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数yf(x)的图象大致为()解析：选D设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得axa(10.104)y，故ylog1.104x(x1)，函数为对数函数，所以函数yf(x)的图象大致为D中图象，故选D.2三个变量y1，y2，y3，随着变量x的变化情况如下表：x1357911y151356251 7153 6456 655y25292452 18919 685177 149y356.106.616.9857.27.4则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为()Ay1，y2，y3By2，y1，y3Cy3，y2，y1 Dy1，y3，y2解析：选C通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律，故选C.3四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i1,2,3,4)和时间x(x1)的函数关系分别是f1(x)x2，f2(x)4x，f3(x)log2x，f4(x)2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()Af1(x)x2 Bf2(x)4xCf3(x)log2x Df4(x)2x解析：选D显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)2x，故选D.4以下四种说法中，正确的是()A幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B对任意的x0，xnlogaxC对任意的x0，axlogaxD不一定存在x0，当xx0时，总有axxnlogax解析：选D对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B、C，当0a1时，显然不成立当a1，n0时，一定存在x0，使得当xx0时，总有axxnlogax，但若去掉限制条件“a1，n0”，则结论不成立5以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：x12345678y1248163264128256y21491625364964y3011.58522.3222.5852.8073其中，关于x呈指数函数变化的函数是_解析：从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.答案：y16生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应_；B对应_；C对应_；D对应_解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快慢快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应答案：(4)(1)(3)(2)7函数f(x)1.1x，g(x)ln x1，h(x)x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)解：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)x，曲线C3对应的函数是g(x)ln x1.由题图知，当xh(x)g(x)；当1xg(x)h(x)；当exf(x)h(x)；当axh(x)f(x)；当bxg(x)f(x)；当cxf(x)g(x)；当xd时，f(x)h(x)g(x)8某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型yax2bxc，乙选择了模型ypqxr，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？解：依题意，得即解得所以甲：y1x2x52，又，得pq2pq12，得pq3pq24，得q2.将q2代入式，得p1.将q2，p1代入式，得r50，所以乙：y22x50.计算当x4时，y164，y266；当x5时，y172，y282；当x6时，y182，y2114.可见，乙选择的模型较好
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