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4.2用数学归纳法证明不等式举例一、教学目标1会用数学归纳法证明简单的不等式2会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件二、课时安排1课时三、教学重点会用数学归纳法证明简单的不等式四、教学难点会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件五、教学过程（一）导入新课复习数学归纳法的基本思想。（二）讲授新课教材整理用数学归纳法证明不等式1贝努利(Bernoulli)不等式如果x是实数，且x1，x0，n为大于1的自然数，那么有(1x)n .2在运用数学归纳法证明不等式时，由nk成立，推导nk1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行（三）重难点精讲题型一、数学归纳法证明不等式例1已知Sn1(n1，nN)，求证：S2n1(n2，nN).【精彩点拨】先求Sn 再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意Sn表示前n项的和(n1)，首先验证n2；然后证明归纳递推【自主解答】(1)当n2时，S2211，即n2时命题成立(2)假设nk(k2，kN)时命题成立，即S2k11.当nk1时，S2k11111.故当nk1时，命题也成立由(1)(2)知，对nN，n2，S2n1都成立规律总结：此题容易犯两个错误，一是由nk到nk1项数变化弄错，认为的后一项为，实际上应为；二是共有多少项之和，实际上 2k1到2k1是自然数递增，项数为2k1(2k1)12k.再练一题1若在本例中，条件变为“设f(n)1(nN)，由f(1)1， f(3)1，f(7)，f(15)2，” .试问：f(2n1)与大小关系如何？试猜想并加以证明【解】数列1,3,7,15，通项公式为an2n1，数列，1，2，通项公式为an，猜想：f(2n1).下面用数学归纳法证明：当n1时，f(211)f(1)1，不等式成立假设当nk(k1，kN)时不等式成立，即f(2k1)，当nk1时，f(2k11)f(2k1)f(2k1)当nk1时不等式也成立据知对任何nN原不等式均成立例2证明：2n2n2(nN)【精彩点拨】【自主解答】(1)当n1时，左边2124；右边1，左边右边；当n2时，左2226，右224，所以左右；当n3时，左23210，右329，所以左右因此当n1,2,3时，不等式成立(2)假设当nk(k3且kN)时，不等式成立，即2k2k2(kN)当nk1时，2k1222k22(2k2)22k22k22k1k22k3(k1)2(k1)(k3)，k3，(k1)(k3)0，(k1)2(k1)(k3)(k1)2，所以2k12(k1)2.故当nk1时，原不等式也成立根据(1)(2)知，原不等式对于任何nN都成立规律总结：1本例中，针对目标k22k1，由于k的取值范围(k1)太大，不便于缩小因此，用增加奠基步骤(把验证n1扩大到验证n1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k3，促使放缩成功，达到目标2利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由nk到nk1的变形为满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目结构，二是要靠经验积累再练一题2用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式均成立【证明】(1)当n2时，左边1；右边.左边右边，不等式成立；(2)假设nk(k2，且kN)时不等式成立，即.则当nk1时，.当nk1时，不等式也成立由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立.题型二、不等式中的探索、猜想、证明例3若不等式对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论【精彩点拨】先通过n取值计算，求出a的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便【自主解答】当n1时，则，a.(1)n1时，已证(2)假设当nk时(k1，kN)，当nk1时，0，也成立由(1)(2)可知，对一切nN，都有，a的最大值为25.规律总结：1不完全归纳的作用在于发现规律，探究结论，但结论必须证明2本题中从nk到nk1时，左边添加项是.这一点必须清楚再练一题3设an1(nN)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1a2a3an1g(n)(an1)对大于1的一切正整数n都成立？证明你的结论【解】假设g(n)存在，那么当n2时，由a1g(2)(a21)，即1g(2)，g(2)2；当n3时，由a1a2g(3)(a31)，即1g(3)，g(3)3，当n4时，由a1a2a3g(4)(a41)，即1g(4)，g(4)4，由此猜想g(n)n(n2，nN)下面用数学归纳法证明：当n2，nN时，等式a1a2a3an1n(an1)成立(1)当n2时，a11，g(2)(a21)21，结论成立(2)假设当nk(k2，kN)时结论成立，即a1a2a3ak1k(ak1)成立，那么当nk1时，a1a2ak1akk(ak1)ak(k1)akk(k1)ak(k1)1(k1)(k1)(ak11)，说明当nk1时，结论也成立，由(1)(2)可知 ，对一切大于1的正整数n，存在g(n)n使等式a1a2a3an1g(n)(an1)成立（四）归纳小结归纳法证明不等式（五）随堂检测1数学归纳法适用于证明的命题的类型是()A已知结论B结论已知C直接证明比较困难D与正整数有关【答案】D2用数学归纳法证明不等式12(n2，nN)时，第一步应验证不等式()A12 B12C12 D.12【解析】n02时，首项为1，末项为.【答案】A3用数学归纳法证不等式1成立，起始值至少取()A7B8C9D10【解析】左边等比数列求和Sn2，即1，n7，n取8，选B.【答案】B六、板书设计4.2用数学归纳法证明不等式举例教材整理用数学归纳法证明不等式例1：例2：例3：学生板演练习七、作业布置同步练习：4.2用数学归纳法证明不等式举例八、教学反思
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