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第五章数列、推理与证明第1讲数列的概念与简单表示法1设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为()A15 B16 C49 D642在数列an中，已知a11，且当n2时，a1a2ann2，则a3a5()A. B. C. D.3古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图X511.图X511他们研究过图X511(1)中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图X511(2)中的1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A289 B1024 C1225 D13784已知数列an满足a12，an，其前n项积为Tn，则T2017()A. B C2 D25(2015年辽宁大连模拟)在数列an中，a12，an1anln，则an()A2ln n B2(n1)ln nC2nln n D1nln n6(2014年新课标)若数列an满足an1，a82，则a1_.7已知数列an满足：a4n31，a4n10，a2nan，nN*，则a2009_，a2014_.8已知递增数列an的通项公式为ann2kn2，则实数k的取值范围为_9(2013年新课标)若数列an的前n项和Snan，则数列an的通项公式是an_.10(2016年上海)无穷数列an由k个不同的数组成，Sn为an的前n项和若对任意nN*，Sn2,3，则k的最大值为_11已知数列an的通项公式为an(n1)n(nN*)，则当n为多大时，an最大？12(2012年大纲)已知数列an中，a11，前n项和Snan.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式第2讲等差数列1(2017年江西南昌二模)已知数列an为等差数列，其前n项和为Sn，2a7a85，则S11()A110 B55 C50 D不能确定2设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1()A2 B2 C. D3已知Sn为等差数列an的前n项和，若a1a7a13的值是一个确定的常数，则下列各式：a21；a7；S13；S14；S8S5.其结果为确定常数的是()A B C D4(2017年新课标)等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则数列an前6项的和为()A24 B3 C3 D85(2017年湖北七市4月联考)在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？()A9日 B8日 C16日 D12日6已知等差数列an的公差为d，关于x的不等式x2xc0的解集是0,22，则使得数列an的前n项和最大的正整数n的值是()A11 B11或12 C12 D12或13 7(2017年广东揭阳一模)已知数列an对任意的nN*都有an1an2an1an，若a1，则a8_.8已知数列an的通项公式为an2n10(nN*)，则|a1|a2|a15|_.9(2016年新课标)在等差数列an中，a3a44，a5a76.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，2.62.10(2014年大纲)数列an满足a11，a22，an22an1an2.(1)设bnan1an，证明bn是等差数列；(2)求an的通项公式11(2014年新课标)已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由第3讲等比数列1对任意的等比数列an，下列说法一定正确的是()Aa1，a3，a9成等比数列 Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列 Da3，a6，a9成等比数列2(2016年河北衡水模拟)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2，S3n14，则S4n()A80 B30 C26 D163(2013年新课标)设首项为1，公比为的等比数列an的前n项和为Sn，则()ASn2an1 BSn3an2CSn43an DSn32an4(2017年广东深圳一模)已知等比数列an的前n项和为Sna3n1b，则()A3 B1 C1 D35(2016年河南模拟)已知等比数列an的首项为，公比为，其前n项和为Sn，则Sn的最大值为()A. B. C. D.6(2017年北京)若等差数列an和等比数列满足a1b11，a4b48，则_.7(2017年江西南昌二模)在等比数列an中，a11，前n项和为Sn，满足S74S63S50，则S4_.8(2017年广东深圳第二次调研)九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn_尺9(2016年新课标)已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b11，b2， anbn1bn1nbn.(1)求an的通项公式；(2)求bn的前n项和10(2016年新课标)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.11(2017年广东广州一模)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an2(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)求数列Sn的前n项和Tn.第4讲数列的求和1(2017年辽宁鞍山一中统测)数列an的通项公式为an，则数列an的前n项和Sn()A. B. C. D.2若数列an的通项公式是an(1)n(3n2)，则a1a2a10()A15 B12 C12 D153已知等差数列an满足a10，5a88a13，则当前n项和Sn取最大值时，n()A20 B21 C22 D234已知数列an的前n项和Snn26n，则数列|an|的前n项和Tn等于()A6nn2 Bn26n18C. D.5(2016年湖北七校2月联考)中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了()A192里 B96里 C48里 D24里6(2015年江苏)已知数列an满足a11，且an1ann1(nN*)，则数列的前10项和为_7如图X541，它满足：第n行首尾两数均为n；图中的递推关系类似杨辉三角，则第n(n2)行的第2个数是_122343477451114115图X5418(2017年安徽合肥第二次质检)已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2an2n，则Sn_.9(2016年浙江金华模拟)设数列an的前n项和Sn满足6Sn19an(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn，求数列bn的前n项和Tn.10(2017年广东佛山二模)已知an是等差数列，是各项均为正数的等比数列，且b1a11，b3a4，b1b2b3a3a4.(1)求数列an，的通项公式；(2)设cnanbn，求数列的前n项和Tn.11(2017年广东湛江二模)观察下列三角形数表，数表(1)是杨辉三角数表，数表(2)是与数表(1)有相同构成规律(除每行首末两端的数外)的一个数表对于数表(2)，设第n行第二个数为an.(nN*)(如a12，a24，a37)(1)归纳出an与an1(n2，nN*)的递推公式(不用证明)，并由归纳的递推公式求出an的通项公式an；(2)数列bn满足：(an1)bn1，求证：b1b2bn0，nN*)，若bmc，bnd(nm2，m，nN*)，则可以得到bmn_.9某同学在一次研究性学习中发现，以下5个式子的值都等于同一个常数sin213cos217sin13cos17；sin215cos215sin15cos15；sin218cos212sin18cos12；sin2(18)cos248sin(18)cos48；sin2(25)cos255sin(25)cos55.(1)试从上述5个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论10在等差数列an中，a1a25，a37，记数列的前n项和为Sn.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在正整数m，n，且1mbc，且abc0，求证0 Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0，设an的前n项和为Sn，a11，S2S336.(1)求d及Sn；(2)求m，k(m，kN*)的值，使得amam1am2amk65成立10(2016年湖北武汉调研)已知等差数列an的前n项和为Sn，a35，S864.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：(n2，nN*)第7讲数学归纳法1用数学归纳法证明：(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*)，从“nk”到“nk1”左端需乘的代数式是()A2k1 B2(2k1)C. D.2用数学归纳法证明：1222n22212，第二步证明由“k到k1”时，左边应加()Ak2 B(k1)2Ck2(k1)2k2 D(k1)2k23用数学归纳法证明1aa2an(a1，nN*)时，当验证n1时，左边计算所得的式子是()A1 B1aC1aa2 D1aa2a44用数学归纳法证明等式：123n2(nN*)，则从nk到nk1时，左边应添加的项为()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k23)(k1)25用数学归纳法证明122225n1是31的整数倍时，当n1时，上式等于()A12 B1222C122223 D122223246用数学归纳法证明1232n2n122n1(nN)时，假设当nk时命题成立，则当nk1时，左端增加的项数是()A1项 Bk1项 Ck项 D2k项7用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，利用归纳法假设证明当nk1时，只需展开()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)38用数学归纳法证明不等式的过程中，由k推导到k1时，不等式左边增加的式子是_9是否存在常数a，b，c，使等式122232n(n1)2(an2bnc)对一切正整数n都成立？证明你的结论10(2017年浙江)已知数列xn满足：x11，xnxn1ln (1xn1)(nN*)证明：当nN*时，(1)0xn1xn；(2)2xn1xn；(3)xn.第五章数列、推理与证明第1讲数列的概念与简单表示法1A解析：a8S8S78272644915.2B3C解析：第n个三角形数可表示为n(n1)，第n个四边形数可表示为n2.故选C.4C解析：由an，得an1，而a12，则有a23，a3，a4，a52.故数列an是以4为周期的周期数列，且a1a2a3a41.所以T2017(a1a2a3a4)504a1150422.5A解析：由已知，得an1anln(n1)ln n.所以a2a1ln 2ln 1，a3a2ln 3ln 2，a4a3ln 4ln 3，anan1ln nln(n1)，以上(n1)个式子左、右分别相加，得ana1ln n所以an2ln n故选A.6.解析：由已知，得an1，a82，a71，a611，a512.同理，a4，a31，a22，a1.710解析：a2009a450331，a2014a21007a1007a425210.8(3，)解析：由an为递增数列，得an1an(n1)2k(n1)2n2kn22n1k0恒成立，即k(2n1)恒成立，即k(2n1)max3.9(2)n1解析：当n1时，a11；当n2时，anSnSn1anan1，故2，故an(2)n1.当n1时，也符合an(2)n1.综上所述，an(2)n1.104解析：从研究Sn与an的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列an由k个不同的数组成”的“不同”和“k的最大值”本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等当n1时，a12或a13；当n2时，若Sn2，则Sn12，于是an0，若Sn3，则Sn13，于是an0.从而存在kN*，当nk时，ak0.其中数列an：2,1，1，0,0,0，满足条件，所以kmax4.11解：an1an(n2)n1(n1)nn，而n0，当n0，即an1an；当n9时，an1an0，即a10a9；当n9时，an1an0，即an1an.因此a1a2a11a12.当n9或n10时，数列an有最大项，最大项为a9或a10.12解：(1)由a11与Snan可得S2a2a1a2a23a13，S3a3a1a2a3a3a1a24a36.故所求a2，a3的值分别为3,6.(2)当n2时，Snan，Sn1an1，可得SnSn1anan1，即ananan1anan1.故有ana11.而1a1，所以an的通项公式为an.第2讲等差数列1B解析：设公差为d，则2a7a82(a16d)(a17d)a15da65，S111111a655.故选B.2D解析：因为S1，S2，S4成等比数列，有SS1S4，即(2a11)2a1(4a16)，解得a1.3A解析：由a1a7a13是一个确定的常数，得3a7是确定的常数，故正确；S1313a7是确定的常数，故正确；S8S5a6a7a83a7是确定的常数，故正确4A解析：设等差数列的公差为d，由a2，a3，a6成等比数列，可得aa2a6，即(12d)2(1d)(15d)整理，可得d22d0.d0，d2.则an前6项的和为S66a1d61(2)24.5A解析：根据题意，显然良马每日行程构成一个首项a1103，公差d113的等差数列前n天共跑的里程为Sna1d1103nn(n1)6.5n296.5n；驽马每日行程也构成一个首项b197，公差d20.5的等差数列，前n天共跑的里程为Snb1d297nn(n1)0.25n297.25n.两马相逢时，共跑了一个来回设其第n天相逢，则有6.5n296.5n0.25n297.25n11252，解得n9.即它们第9天相遇故选A.6A解析：关于x的不等式x2xc0的解集是0,22，解得a1.ana1(n1)d(n1)dd.可得a11dd0，a12dd0.故使得数列an的前n项和最大的正整数n的值是11.7.解析： 由an1an2an1an，得2，故数列是首项2，公差d2的等差数列，则22(n1)2n.故a8.8130解析：由an2n10(nN*)，知an是以8为首项，2为公差的等差数列令an2n100，得n5.所以当n5时，an0；当n5时，an0.所以|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)S152(a1a2a3a4)9040130.9解：(1)设an的公差为d，由题意，得2a15d4，a15d3.解得a11，d.所以an.(2)由(1)知，bn.当n1,2,3时，12，bn1；当n4,5时，23，bn2；当n6,7,8时，34，bn3；当n9,10时，40，得S2n6.又(S3nS2n)2(S2nSn)(S4nS3n)，所以(146)2(62)(S4n14)，解得S4n30.3D解析：方法一，在等比数列an中，Sn32an.方法二，在等比数列an中，a11，q，an1n1n1.Sn3332an.4A解析：因为a1S1ab，a2S2S12a，a3S3S26a，由等比数列，得公比q3.又a2a1q，所以2a3(ab)，解得3.5D解析：等比数列an的首项为，公比为，Sn1n.当n取偶数时，Sn1n1；当n取奇数时，Sn1n1.Sn的最大值为.故选D.61解析：设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由a4b48，得13dq38，解得q2，d3.则1.740解析：设an的公比为8，由S74S63S50，可得S7S63(S6S5)0a73a60，所以q3.所以S440.82n1解析：依题意，得大老鼠每天打洞的距离构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以前n天大老鼠打洞的距离共为2n1；同理可得前n天小老鼠打洞的距离共为2.所以Sn2n122n1.9解：(1)由a1b2b2b1，b11，b2，得a12.所以数列an是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an3n1.(2)由(1)和anbn1bn1nbn，得bn1.因此bn是首项为1，公比为的等比数列记bn的前n项和为Sn，则Sn.10解：(1)由题意，得a1S11a1.故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0，得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是ann1.(2)由(1)，得Sn1n.由S5，得15，即5，解得1.11. 解：(1)当n1时，S12a12，即a12a12. 解得a12.当n2时，anSnSn1(2an2)(2an12)2an2an1，即an2an1.所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列所以an22n12n(nN*)(2)因为Sn2an22n12, 所以TnS1S2Sn 22232n12n 2n2n242n.第4讲数列的求和1B解析：由题意，得数列an的通项公式为an，所以数列an的前n项和Sn.故选B.2A3B解析：设公差为d.由5a88a13，得5(a17d)8(a112d)解得da1.由ana1(n1)da1(n1)0n21.数列an的前21项都是正数，以后各项都是负数故Sn取最大值时，n的值为21.故选B.4C解析：由Snn26n，得an是等差数列，且首项为5，公差为2.an5(n1)22n7.当n3时，an3时，an0.Tn5B解析：由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为的等比列，则378.解得a1192，则a296，即第二天走了96里路故选B.6.解析：由题意，得an(anan1)(an1an2)(an2an3)(a2a1)a1nn1n21.所以2.S1022.7.解析：设第n(n2)行的第2个数构成数列an，则有a3a22，a4a33，a5a44，anan1n1，相加，得ana223(n1)(n2)，an2.8n2n(nN*)解析：由Sn2an2n，得当n1时，S1a12；当n2时，Sn2(SnSn1)2n，即1.所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，则n，Snn2n(n2)当n1时，也符合上式，所以Snn2n(nN*)9解：(1)当n1时，由6a119a1，得a1.当n2时，由6Sn19an，得6Sn119an1，两式相减，得6(SnSn1)9(anan1)，即6an9(anan1)an3an1.数列an是首项为，公比为3的等比数列，其通项公式为an3n13n2.(2)bnn2，bn是首项为3，公比为的等比数列Tnb1b2bn.10解：(1)设数列an的公差为d，bn的公比为q，依题意，得解得所以an1(n1)n，bn12n12n1.(2)由(1)知，cnanbnn2n1，则：Tn120221322n2n1，2Tn121222(n1)2n1n2n，得Tn2021222n1n2nn2n(1n)2n1.所以Tn(n1)2n1.11(1)解：依题意，当n2，可归纳出anan1n.所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1.ann(n1)222(n2n)1.检验当n1时，上式也成立所以通项公式为an(n2n)1.(2)证明：(an1)bn1，bn2.b1b2bn22.又11，b1b2bn2.第5讲合情推理和演绎推理1D解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为13.故.2.解析：类比祖暅原理，可得两个图形的面积相等，梯形面积为S(12)3，所以图X551(1)的面积为.3(1)6(2)124122232(1)n1n2(1)n15SSSS6cos cos cos ，nN*7丙解析：如果丙说的是假话，则“甲得优秀”是真话，又乙说“我得了优秀”是真话，所以矛盾；若甲说的是假话，即“丙说的是真话”是假的，则说明“丙说的是假的”，即“甲没有得优秀”是假的，也就是说“甲得了优秀”是真的，这与乙说“我得了优秀”是真话矛盾；若乙说的是假话，即“乙没得优秀”是真的，而丙说“甲没得优秀”为真，则说明“丙得优秀”，这与甲说“丙说的是真话”符合所以三人中说假话的是乙，得优秀的同学是丙8.解析：方法一，设数列an的公差为d1，则d1.所以amnamnd1an.类比推导方法可知：设数列bn的公比为q，由bnbmqnm，可知dcqnm.所以q.所以bmnbmqnc.方法二，(直接类比)设数列an的公差为d1，数列bn的公比为q，则ana1(n1)d1，bnb1qn1.因为amn，所以bmn.9解：(1)选择，由sin215cos215sin15cos151sin30.故这个常数是.(2)推广，得到三角恒等式sin2cos2(30)sin cos(30).证明：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos30cossin30sin)2sin (cos30cossin30sin)sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.10解：(1)设等差数列an的公差为d，因为即解得所以ana1(n1)d13(n1)3n2.所以数列an的通项公式为an3n2(nN*)(2)因为，所以数列的前n项和Sn.假设存在正整数m，n，且1m0，所以3m26m11，所以1m13.因为mN*，所以m2.此时n16.故存在满足题意的正整数m，n，且只有一组值，即m2，n16.第6讲直接证明与间接证明1A解析：反证法的步骤第一步是假设命题的反面成立，而“至少有一个实根”的否定是“没有实根”故选A.2C解析：由题意，知ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.3等边解析：由题意，得2BAC，又ABC，B.又b2ac，由余弦定理，得b2a2c22accos Ba2c2ac.a2c22ac0，即(ac)20.ac.AC.ABC.ABC为等边三角形45.解析：f(x)sin x在区间(0，)上是凸函数，且A，B，C(0，)ff.即sin Asin Bsin C3sin .sin Asin Bsin C的最大值为.6若，则(或若，则)解析：依题意可得以下四个命题：(1)mn，nm；(2)mn，mn；(3)mn，n，m；(4)，n，mmn.不难发现，命题(3)(4)为真命题，而命题(1)(2)为假命题7lg 153abc解析：如果lg 32ab是正确的，那么lg 92lg 32(2ab)4a2b；如果lg 32ab是错误的，那么lg 94a2b也是错误的，这与题意矛盾反过来，lg 94a2b也不是错误的，否则lg 32ab是错误的同样，如果lg 5ac，那么lg 83lg 23(1lg 5)3(1ac)，如果lg 5ac是错误的，那么lg 833a3c，也错误，这与题意矛盾；显然lg 833a3c也不是错误的，否则lg 5ac也是错误的lg 15lg(35)lg 3lg 5(2ab)(ac)3abc.应将最后一个改正为lg 153abc.8201解析：由已知，若a2正确，则a0或a1，即a0，b1，c2或a0，b2，c1或a1，b0，c2或a1，b2，c0均与“三个关系有且只有一个正确”矛盾；若b2正确，则a2正确，不符合题意；所以c0正确，a2，b0，c1，故100a10bc201.9解：(1)S2S3(2a1d)(3a13d)36，将a11代入上式，解得d2或d5.公差d0，d2.an12(n1)2n1.Snn2(nN*)(2)由(1)知，amam1am2amk(2mk1)(k1)65.m，kN*，2mk11，k11.解得(舍去)或解得综上所述，m5，k4.10(1)解：设等差数列an的公差为d，则解得故所求的通项公式为an2n1.(2)证明：由(1)可知，Snn2，要证原不等式成立，只需证，只需证(n1)2(n1)2n22(n21)2.只需证(n21)n2(n21)2.只需证3n21.而3n21在n1时恒成立，从而不等式(n2，nN*)恒成立第7讲数学归纳法1B2.D3B解析：n1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a，左边是1a.4D解析：nk时，等式左边123k2，nk1时，等式左边123k2(k21)(k22)(k1)2.比较上述两个式子，当nk1时，等式的左边是在假设nk时等式成立的基础上，等式的左边加上了(k21)(k22)(k1)2.5D解析：原等式共有5n项，当n1时，25124.故选D.6D解析：运用数学归纳法证明1232n2n122n1(nN)，当nk时，则有1232k2k122k1(kN)，左边表示的为2k1项的和当nk1时，则左边1232k(2k1)2k1，表示的为2k11项的和，因此，增加了2k12k2k项7A解析：假设nk时，原式k3(k1)3(k2)3能被9整除，当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3，为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3展开，让其出现k3.8.解析：求f(k1)f(k)即可当nk时，左边.当nk1时，左边.故左边增加的式子是，即.9解：把n1,2,3代入，得方程组解得猜想：等式122232n(n1)2(3n211n10)对一切nN*都成立下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，由上面可知等式成立(2)假设nk时等式成立，即122232k(k1)2(3k211k10)，则122232k(k1)2(k1)(k2)2(3k211k10)(k1)(k2)2(3k5)(k2)(k1)(k2)2k(3k5)12(k2)3(k1)211(k1)10当nk1时，等式也成立综合(1)(2)，对nN*等式都成立10证明：(1)用数学归纳法证明xn0，当n1时，x110.假设当nk时，xk0，那么当nk1时，若xk10，则0xk0.因此xn0(nN*)，所以xnxn1ln(1xn1)xn1.所以0xn1xn1，得xnxn14xn12xnx2xn1(xn12)ln(1xn1)记函数f(x)x22x(x2)ln(1x)(x0)，又f(x)ln(1x)0，函数f(x)在0，)上单调递增，所以f(x)f(0)0.因此x2xn1(xn12)ln(1xn1)f(xn1)0，所以2xn1xn(nN*)(3)因为xnxn1ln(1xn1)xn1xn1，所以xn.由2xn1xn，得20，22n12n2，故xn.综上所述，xn(nN*)
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