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2 2椭圆及其标准方程 山东省福山第一中学徐洪磊 一 教学目标1 掌握椭圆的定义及其应用 能根据条件确定椭圆的标准方程2 掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程 二 重点 难点重点 椭圆的定义与椭圆的标准方程及应用难点 椭圆的标准方程的推导 2 圆的定义是什么 1 两点间的距离公式 若设A x1 y1 B x2 y2 则 AB 在平面内 一个动点到一个定点的距离等于定长的点的轨迹 定点叫圆心 定长为半径 三 知识回顾 O r 设圆上任意一点P x y 以圆心O为原点 建立直角坐标系 两边平方 得 建系的原则是 简洁 对称 3 圆的标准方程的推导过程 平面内一个动点到两个定点的距离之和为定长的点将会形成什么样的轨迹呢 它的标准方程是什么呢 四 新课引入 平面内一个动点到一个定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆 椭圆就在我们身边 早上起床后洗洗脸 照照镜子 直观感受 吃点点心 吃点水果 进行户外运动 洗洗澡 国家大剧院 观察天体运行的轨迹 只要我们善于观察就能发现生活中处处有椭圆 仔细体会就能感受到椭圆的美 感受 探究 同学们认真观察动画 归纳椭圆的定义 1 椭圆的定义 平面内到两个定点F1 F2的距离之和等于常数 大于 F1F2 的点的轨迹叫做椭圆 两个定点F1 F2叫做椭圆的焦点 两焦点间的距离 F1F2 2c叫做椭圆的焦距 常数记为2a 思考 在绳长 设为2a 不变的条件下 1 当两个点重合在一点时 画出的图形是什么 2 当绳长大于两个定点之间的距离时 画出的图形是什么 3 当绳长等于两个定点之间的距离时 画出的图形是什么 4 当绳长小于两个定点之间的距离时 能画出图形么 圆 椭圆 线段 不能 无轨迹 探讨建立平面直角坐标系的方案 建立平面直角坐标系通常遵循的原则 对称 简洁 方案一 2 求椭圆的标准方程 x y 以F1 F2所在直线为x轴 线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系 P x y 设P x y 是椭圆上任意一点 设 F1F2 2c 则有F1 c 0 F2 c 0 椭圆上的点满足 PF1 PF2 2a 则2a 2c 则 即 O 方程 是椭圆的标准方程 若焦点在y轴上的椭圆推导出的方程又是怎样的呢 方程 也是椭圆的标准方程 3 椭圆标准方程的推导 O X Y F1 F2 M c 0 c 0 Y 椭圆的标准方程 1 椭圆标准方程的特点 2 椭圆的标准方程中三个参数a b c满足 3 椭圆的标准方程中 如何判断焦点在那个轴上 左边是两个分式的平方和 右边是1 a2 b2 c2 x2与y2的分母哪一个大 则焦点在哪一个轴上 定义 图形 方程 焦点 c 0 c 0 a b c之间的关系 a2 b2 c2 MF1 MF2 2a 2a 2c 0 椭圆的标准方程 0 c 0 c 应用一 椭圆定义的应用 6 4 4 抢答题 7 焦点三角形 我们把椭圆上一点与过两个焦点连线的三角形PF1F2叫焦点三角形 长度等于 提高型 2a 2c 例3 已知F1 F2为椭圆的两个焦点 过F1的直线交椭圆于A B两点 若 F2A F2B 12 则 AB B 8 强化型 例1 椭圆的两个焦点的坐标分别是 4 0 4 0 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10 求椭圆的标准方程 解 椭圆的焦点在x轴上 设它的标准方程为 2a 10 2c 8 a 5 c 4 b2 a2 c2 52 42 9 所求椭圆的标准方程为 应用二 利用待定系数法求椭圆的方程 抢答题 若焦点坐标改为 0 4 0 4 则答案是什么 变式训练 1 当a 4 c 2时求适合条件的椭圆的标准方程 当焦点在x轴上时 当焦点在y轴上时 提高型 首先题目没有指出焦点的位置 要采用分类讨论的思想 讨论在焦点x y轴两种情况 然后由题意求出a b的值最后写出椭圆的标准方程 求椭圆标准方程方法归纳 强化型 当堂检测 A 20 没有变化 F1 F2 A B 3 A B 一个概念 二个方程 小结 二种方法 去根号的方法 求标准方程的方法 椭圆的定义 已知B C是两个定点 BC 6 且 ABC的周长等于16 求顶点A的轨迹方程 巩固提升 已知B C是两个定点 BC 6 且 ABC的周长等于16 求顶点A的轨迹方程 y 解 建系如图 由题意 AB AC BC 16 BC 6 有 AB AC 10 由椭圆的定义知 点A的轨迹是椭圆 2c 6 2a 10 c 3 a 5 b2 a2 c2 52 32 16 故顶点A的轨迹方程是