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考点规范练13函数模型及其应用一、基础巩固1.在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%,专家预测经过x年可能增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为()答案D解析由题意可得y=(1+10.4%)x,函数是底数大于1的指数函数,故选D.2.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=502xD.y=100log2x+100答案C解析根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型.3.已知某矩形广场的面积为4万平方米,则其周长至少为()A.800米B.900米C.1 000米D.1 200米答案A解析设这个广场的长为x米,则宽为40000x米.故其周长为l=2x+40000x800,当且仅当x=200时取等号.4.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是()A.15,20B.12,25C.10,30D.20,30答案C解析设矩形的另一边长为ym,则由三角形相似知,x40=40-y40,y=40-x.xy300,x(40-x)300,x2-40x+3000,10x30.5.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0x240,xN*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台答案C解析设利润为f(x)万元,则f(x)=25x-(3000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3000(0x240,xN*).令f(x)0,得x150,故生产者不亏本时的最低产量是150台.6.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子租不出去.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出去的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套公寓月租金应定为()A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元答案B解析由题意,设利润为y元,租金定为(3000+50x)元(0x70,xN),则y=(3000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)5058+x+70-x22=204800,当且仅当58+x=70-x,即x=6时,等号成立,故每月租金定为3000+300=3300(元)时,公司获得最大利润,故选B.7.某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况答案B解析设该股民购这只股票的价格为a元,则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=a1.1n元,经历n次跌停后的价格为a1.1n(1-10%)n=a1.1n0.9n=a(1.10.9)n=0.99naa,故该股民这只股票略有亏损.8.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080,则下列各数中与MN最接近的是()(参考数据:lg 30.48)A.1033B.1053C.1073D.1093答案D解析设MN=x=33611080,两边取对数,得lgx=lg33611080=lg3361-lg1080=361lg3-8093.28,所以x1093.28,即与MN最接近的是1093.故选D.9.一个人以6 m/s的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25 m时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间t内的路程为s=12t2 m,则此人()A.可在7 s内追上汽车B.可在9 s内追上汽车C.不能追上汽车,但期间最近距离为14 mD.不能追上汽车,但期间最近距离为7 m答案D解析已知s=12t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=12t2-6t+25=12(t-6)2+7.当t=6时,d取得最小值7.结合选项可知选D.10.(2018山东泰安联考)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是()A.40万元B.60万元C.120万元D.140万元答案C解析甲6元时该商人全部买入甲商品,可以买1206=20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利202=40(万元),乙4元时该商人全部买入乙商品,可以买(120+40)4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利402=80(万元),共获利40+80=120(万元),故选C.11.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0x100,xN*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是.答案16解析由题意,分流前每年创造的产值为100t(万元),分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,则0x100,xN*,(100-x)(1+1.2x%)t100t,解得0x503.因为xN*,所以x的最大值为16.二、能力提升12.“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=aA(a为常数),广告效应为D=R-A.那么精明的商人为了取得最大广告效应,投入的广告费应为.(用常数a表示)答案14a2解析令t=A(t0),则A=t2,D=aA-A=at-t2=-t-12a2+14a2,当t=12a,即A=14a2时,D取得最大值.13.某食品的保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192 h,在22 的保鲜时间是48 h,则该食品在33 的保鲜时间是()A.16 hB.20 hC.24 hD.28 h答案C解析由题意,得(0,192)和(22,48)是函数y=ekx+b图象上的两个点,所以192=eb,48=e22k+b.由得,48=e22keb,把代入得e22k=48192=14,即(e11k)2=14,所以e11k=12.所以当储藏温度为33时,保鲜时间y=e33k+b=(e11k)3eb=18192=24(h).14.为了在“十一”黄金周期间降价搞促销,某超市对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:若不超过200元,则不予优惠;若超过200元,但不超过500元,则按标价给予9折优惠;若超过500元,则其中500元按第条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.辛云和她母亲两次去购物,分别付款168元和423元,假设他们一次性购买上述同样的商品,则应付款额为.答案546.6元解析依题意,价值为x元的商品和实际付款额f(x)之间的函数关系式为f(x)=x,0x200,0.9x,200500.当f(x)=168时,由1680.91870恒成立,即-2mk2+20k+94.k2+20k+94=(k+10)2-6-6,-2m3.故m的取值范围是(3,+).三、高考预测16.如图,正方形ABCD的顶点A0,22,B22,0,顶点C,D位于第一象限,直线l:x=t(0t2)将正方形ABCD分成两部分,记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t),则函数s=f(t)的图象大致是()答案C解析依题意得s=f(t)=t2,0t22,-(t-2)2+1,22t2,分段画出函数的图象可得图象如选项C所示,故选C.
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