2019高考数学 常考题型 专题04 数列问题 文.doc

专题04 数列问题1（2018新课标全国文科）记为等差数列的前项和，已知，（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值【解析】（1）设an的公差为d，由题意得3a1+3d=15由a1=7得d=2所以an的通项公式为an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为162（2018新课标全国I文科）已知数列满足，设（1）求；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（3）求的通项公式【解析】（1）由条件可得an+1=将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4将n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12从而b1=1，b2=2，b3=4【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列的通项公式，借助于的通项公式求得数列的通项公式，从而求得最后的结果.3（2018新课标全国文科）等比数列中，（1）求的通项公式；（2）记为的前项和若，求4（2017新课标全国文科）记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=6（1）求的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列【解析】（1）设的公比为由题设可得解得，故的通项公式为（2）由（1）可得由于，故，成等差数列1等差数列、等比数列一直是高考的热点，尤其是等差数列和等比数列的通项公式、性质、前n项和等为考查的重点，有时会将等差数列和等比数列的通项、前n项和及性质综合进行考查.2在高考中常出两道客观题或一道解答题，若是以客观题的形式出现，一般一道考查数列的定义、性质或求和的简单题，另一道则是结合其他知识，考查递推数列等的中等难度的题.若在解答题中出现，则一般结合等差数列和等比数列考查数列的通项，前n项和等知识，难度中等.指点1：等差数列及其前项和1求解等差数列通项公式的方法主要有两种：（1）定义法.（2）前项和法，即根据前项和与的关系求解.2等差数列前n项和公式的应用方法：根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用；若已知通项公式，则使用，同时注意与性质“”的结合使用.【例1】已知等差数列满足，数列满足.（1）求数列、的通项公式；（2）求数列的前项和.【解析】（1）依题意，即，所以，则，故.因为，所以，当时， 得，即.当时，满足上式.数列的通项公式为. 指点2：等比数列及其前项和1求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用求解但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形可以简化解题过程2当时，若已知，则用求解较方便；若已知，则用求解较方便.【例2】已知等比数列的各项均为正数，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的前项和.【解析】（1）设等比数列an的公比为q，a26，a3a472，6q6q272，即q2q120，解得q3或q4又an0，q0，q3， .（2）， .指点3：数列的综合应用1解决等差数列与等比数列的综合问题时，若同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；若两个数列是通过运算综合在一起的，则要把两个数列分开求解.2数列常与函数、不等式结合起来考查，其中数列与不等式的结合是考查的热点，注意知识之间的灵活运用.【例3】设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，已知，（1）若，求数列的通项公式；（2）若，且，求【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为（1）因为，所以， 由，可得 ，由，可得 ， 联立，解得（舍去）或， 所以，故数列的通项公式为 （2）因为，所以，解得或， 又，所以，因为，所以，即， 所以【例4】已知公差大于零的等差数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）若数列是等差数列，且，求非零常数的值（3）设，为数列的前项和，是否存在正整数，使得对任意的均成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由【解析】（1）因为数列为等差数列，所以，又，所以，是方程的两个根， 由解得，设等差数列的公差为，由题意可得，所以，所以，所以，解得， 所以，故数列的通项公式为（3）由题可得， 利用裂项相消法可得，故， 所以存在正整数，使得对任意的均成立，所以的最小值为1等差数列的前项和为,若,则A18 B27C36 D45【答案】B【解析】根据等差数列的性质，得，而，所以，所以，故选B2已知等比数列中，数列的前项和为，则A36 B28C45 D32【答案】B【解析】由题可得：，所以，故，所以是以公差为1的等差数列，故，故选B3中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作九章算术、算法统宗中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列的前项和，等比数列满足， ，则A4 B5C9 D16【答案】C【解析】由题意可得：，则等比数列的公比，故.本题选择C选项.4已知数列的前项和为，.（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和.【解析】（1），当时，.-得，所以.当时，得，则.所以是从第二项起，以2为公比的等比数列.则，.所以.（2）易知.，-得.所以.5已知数列为等比数列，数列为等差数列，且，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：.【解析】（1）设数列的公比为，数列的公差为，由题意得，解得，所以.（2）因为，所以，因为，所以，又因为在上单调递增，所以当时，取最小值，所以.