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习题课 第十部分曲线 曲面积分 一 重点和难点 了解多元函数积分学的整体思想 1 第 型 第 型曲线积分的定义 性质 各自不同的计算方法和两型曲线积分互相转换的关系式 2 第 型 第 型曲面积分的定义 性质 各自不同的计算方法和两型曲面积分之间互相转换的关系式 3 格林公式的条件 结论和应用 4 平面曲线积分的四个等价命题 它们等价的条件 以及应用 5 高斯公式的含义和用法 6 曲面积分与曲面无关的条件 7 斯托克斯 Stokes 公式的含义和用法 8 空间曲线积分的四个等价命题 9 了解散度 会计算散度 10 了解旋度 会计算旋度 第十部分曲线 曲面积分 曲线积分和曲面积分在实际中的应用 求曲线 曲面的质量 重心和转动惯量 解决变力作功问题 解决矢量场沿有向闭曲线的环量以及通过曲面的通量计算问题 填空 4个 二 下列计算对吗 5题 三 判别积分的类型并计算 4题 四 课堂练习 1 单项选择题 3题 2 计算题 3题 习题课 11 按积分区域分类 定积分 二重积分 三重积分 D 曲线积分 曲面积分 一型 对弧长 二型 对坐标 一型 对面积 二型 对坐标 Stokes公式 高斯公式 格林公式 一 多元函数积分学概况 推广 推广 推广 推广 第一型 对弧长 第二型 对坐标 两型之间的关系 标准形式 物理意义 计算方法 相似处 不同处 曲线积分 1 都是化曲线积分为定积分计算 2 都要把曲线表示式代入被积函数 积分下限 上限 L方向 从A B 积分下限为起点A的t值 上限为终点B的t值 此处下限是 上限是 1 第 型 第 型曲线积分的比较 第一型 对面积 第二型 对坐标 两型之间的关系 标准形式 物理意义 计算方法 曲面积分 指空间曲面 为有向曲面 2 第 型 第 型曲面积分的比较 解决 平面的曲线积分与二重积分的联系 3 格林公式 L D D L l 逆 顺 则有 其中L是D的整个正向边界曲线 若 特殊情况 D是复连通的 下 格林公式成为 注 逆 逆 问题 4 平面曲线积分的四个等价命题 若其中一个成立 另外三个也成立 等价的意义是 5 高斯公式 曲面积分与三重积分的联系 则有 其中 是 的整个边界曲面的外侧 若 解决 问题 6 曲面积分与曲面无关的条件 7 Stokes公式 曲线积分与曲面积分的联系 若 解决 问题 7 Stokes公式 曲线积分与曲面积分的联系 则有 若 解决 问题 8空间曲线积分的四个等价命题 9 散度 例 解 10 旋度 例 解 由轮序对称性 11 曲线积分和曲面积分的应用 填空 二下列计算对吗 解 a L 以上解法对吗 二2 解 a 以上解法对吗 Dxy 1 2 二3 解 a 以上解法对吗 Dxy 1 2 二4 解 a 以上解法对吗 Dxy 1 2 取上侧 取下侧 二5 解 a 以上解法对吗 三判别积分的类型并计算 4个 四课堂练习 1 单项选择题 B C B 2 计算题 谢谢使用 返回首页 习题课 A 1 0 B 0 1 C 1 2 解 类型 I型曲线积分 三1 其中 1 4 A 1 1 B 2 4 C 1 4 解 类型 II型曲线积分 三2 方法I 直接计算 1 也可以用下面的方法 1 4 A 1 1 B 2 4 C 1 4 D 解 类型 II型曲线积分 贴补 用格林公式 1 先x 三2 方法II 4 解 类型 I型曲面积分 三3 Dxy 用平面极坐标 解 类型 II型曲面积分 三4 S由第一卦限和第二卦限中的锥面S1和S2构成 其上侧在yOz平面的投影为负 其上侧在yOz平面的投影为正 h h z y Dyz Dyz图形 S1 S2 也可以用下面的方法 o x y z 解 类型 II型曲面积分 需贴补侧面S 右侧 和半圆顶面S半圆 下侧 h h Dxy图形 三4 方法II 贴补 用高斯公式 S S半圆 2 1 解 方法 2 1 L 用格林公式 0 t 2 C 2 2 解 方法 贴补 用高斯公式 R S V Dxy 解