自动控制理论5-2频域：伯德.ppt

1 第五章频率响应法 5 2 2 表示系统频率特性的图形有三种 对数坐标图极坐标图对数幅相图 5 2对数坐标图 3 一 对数坐标图1 对数幅频特性图 横坐标 用频率 的对数lg 分度 纵坐标 L 20lg G j dB 采用线性分度 2 相频特性图横坐标 用频率 的对数lg 分度 纵坐标 频率特性的相角 以度为单位 采用线性分度 4 伯德图表示频率特性的优点 把频率特性的乘除运算转变为加减运算 在对系统作近似分析时 一般只需要画出对数幅频特性曲线的渐近线 从而大大简化了图形的绘制 用实验方法 将测得系统频率响应的数据画在半对数坐标纸上 根据所作出的曲线 估计被测系统的传递函数 5 二典型因子的伯德图 如果开环传递函数以时间常数形式表示 则与之相对应的开环频率特性一般由下列五种典型因子组成 比例因子 一阶因子 微分和积分因子 二阶因子 滞后因子 6 1比例因子比例因子的对数幅频特性是一条幅值为20lgK分贝 且平行于横轴的直线 相频特性是一条和横轴重合的直线 相角为00 K 1时 20lgK 0dB K 1时 20lgK 0dB 7 2积分因子当 1时当 10时当 100时 每增加10倍 L 则衰减20dB 记为 20dB 十倍频程 或 20dB dec 说明积分环节的对数幅频曲线是一条经过横轴上 1这一点 且斜率为 20的直线 8 相频与 无关 值为 90 且平行于横轴的直线 9 3微分因子微分环节是积分环节的倒数 它们的曲线斜率和相位移也正好相差一个负号 10 4一阶因子中惯性环节惯性环节的幅频特性为惯性环节的幅频特性在时 低频段 近似地认为 惯性环节在低频段的对数幅频特性是与横轴相重合的直线 11 在时 高频段 幅频特性 表示一条经过横轴处 斜率为 20dB dec的直线方程 综上所述 惯性环节的对数幅频特性可以用在处相交于0分贝的两条渐近直线来近似表示 当时 是一条0分贝的直线 当时 是一条斜率为 20dB dec的直线 12 两条渐近线相交处的频率称为转折频率或交接频率 13 惯性环节的相频特性当 0时 当时 当 趋于无穷时 趋于 90 采用渐近线在幅频曲线上产生的误差是可以计算的 幅值的最大误差发生在转折频率处 近似等于3dB 14 5一阶比例微分因子一阶比例微分因子的频率特性 1 j T 与惯性环节的频率特性互为倒数关系 此其对数幅频曲线和相频曲线仅差一负号 即 15 一阶微分环节高频渐近线的斜率是 20dB dec 其相位变化范围由0 0 经 45 至90 16 6二阶因子 二阶振荡环节 对数幅频特性对数相频特性低频段 即 Tn 1时 低频渐近线为一条0dB的水平直线 17 高频段 即 Tn 1时当 增加10倍即高频渐近线是一条斜率为 40dB dec的直线 当时说明为二阶系统 振荡环节 的转折频率 18 40dB dec 19 可见 当频率接近时 将产生谐振峰值 阻尼比的大小决定了谐振峰值的幅值 振荡环节的对数幅频特性在转折频率附近产生谐振峰值可通过下列计算得到 20 振荡环节的幅频特性为其中 当出现揩振峰值时 有最大值 即有最小值 得到谐振频率式中 21 将代入 不难求得 因此 在 r处具有最小值 有最大值 谐振峰值谐振频率 r及谐振峰值Mr都与 有关 越小 r越接近 n Mr将越大 当 0 707时 r为虚数 说明不存在谐振峰值 幅频特性单调衰减 当 0 707时 r 0 Mr 1 0 Mr 1 0时 r n Mr 22 振荡环节相频特性相角是 和 的函数 在 0 当时 不管 值的大小 当 时 相频曲线对 90 的弯曲点是斜对称的 23 7滞后因子幅频特性相频特性 24 三 绘制开环系统的伯德图 设系统的开环传递函数为 则对应的对数幅频和相频特性分别为 25 绘制开环系统的伯德图基本步骤 把系统的频率特性改写成各典型因子的乘积形式 画出每个因子的对数幅频和相频曲线 然后进行同频率叠加 即得到该系统的伯德图 26 例1 27 工程上绘制伯德图的方法 写出开环频率特性的表达式 把其所含各因子的转折频率由小到大一次标注在频率轴上 绘制开环对数幅频曲线的渐近线 渐近线由若干条分段直线所组成 其低频段的斜率为 20vdB dec 其中v为积分环节数 在w 1处 L w 20lgK 以低频段作为分段直线的起始段 从它开始 沿着频率增大的方向 每遇到一个转折频率就改变一次分段直线的斜率 如遇到因子的转折频率 当时 分段直线斜率的变化量为 20dB dec 如遇到因子的转折频率 当时 分段直线斜率的变化量为 20dB dec 28 分段直线最后一段是开环对数幅频曲线的高频渐近线 其斜率为 20 n m dB dec 其中n为开环系统的极点数 m为开环系统的零点数 作出以分段直线表示的渐近线后 如果需要 再按照各典型因子的误差曲线对相应的分段直线进行修正 就可得到实际的对数幅频特性曲线 作相频特性曲线 根据开环相频特性的表达式 在低频 中频及高频区域中各选择若干个频率进行计算 然后连接成曲线 29 例5 2已知一反馈控制系统的开环传递函数为试绘制开环系统的伯德图 幅频特性用分段直线表示 解系统的开环频率特性为 由此可知 该系统是由比例 积分 一阶比例微分和惯性环节所组成 它的对数幅频特性为 30 1 由于v 1 因而渐近线低频段的斜率为 20dB dec 在w 1处 其高度为20lg10 20dB 2 当w 2时 由于惯性环节 使分段直线的斜率变为 40dB dec 同理 由于一阶比例微分环节 当w 10时 使分段直线的斜率变为 20dB dec 系统的相频特性为 W 1 W 10 W 无穷大 W 0 31 P116图5 17 32 四 最小相位系统1 定义 在系统的开环传递函数中 没有位于S右半平面的零点和极点 且没有纯滞后环节的系统为最小相位系统 反之为非最小相位系统 2 最小相位系统特征 a 在n m且幅频特性相同的情况下 最小相位系统的相角变化范围最小 这里n和m分别表示传递函数分母和分子多项式的阶次 33 例如两个系统的开环传递函数分别为 T1 T2 0 它们的对数幅频和相频特性为 34 显然 两个系统的幅频特性一样 但相频特性不同 由图可见 的变化范围要比大得多 最小相位系统 非最小相位系统 35 b 当 时 其相角等于 90 n m 对数幅频特性曲线的斜率为 20 n m dB dec 有时用这一特性来判别该系统是否为最小相位系统 c 对数幅频特性与相频特性之间存在确定的对应关系 对于一个最小相位系统 我们若知道了其幅频特性 它的相频特性也就唯一地确定了 也就是说 只要知道其幅频特性 就能写出此最小相位系统所对应的传递函数 而无需再画出相频特性 36 1 0型系统 0型系统的对数幅频特性低频渐近线为一条xdB的水平线 则其对数幅频特性的表达式为 五系统的类型与对数幅频特性曲线低频渐近线斜率的对应关系 0型系统的开环频率特性为 37 2 型系统 型系统的对数幅频特性有如下特点 则其对数幅频特性的表达式为 型系统的开环频率特性为 1 低频渐近线的斜率为 20dB dec 2 低频渐近线 或其延长线 在w 1处的纵坐标为 3 开环增益K在数值上也等于低频渐近线 或其延长线 与0dB线相交点的频率值 38 3 型系统 型系统的对数幅频特性有如下特点 则其对数幅频特性的表达式为 型系统的开环频率特性为 1 低频渐近线的斜率为 40dB dec 2 低频渐近线 或其延长线 在w 1处的纵坐标为 3 开环增益K在数值上也等于低频渐近线 或其延长线 与0dB线相交点的频率值的平方 39 试求 写出系统的闭环传递函数 若 求系统的瞬态响应 例题5 2已知一单位反馈控制系统的开环对数幅频特性如图所示 最小相位系统 40 41 试求 写出系统的开环传递函数 例题5 已知一单位反馈控制系统的开环对数幅频特性如图所示 最小相位系统 42