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立体及其表面交线的投影 第七章 2 7 1立体及其表面上的点与线 7 2平面与立体表面相交 7 3两立体表面相交 本章作业 立体及其表面交线的投影ProjectionofSolidsandTheirIntersection 3 7 1立体及其表面上的点与线 立体是由表面围成的封闭空间 可分为两类 表面都是由平面围成的平面立体 表面是由曲面或曲面与平面围成的曲面立体 立体的投影就是构成该立体的所有表面 或所有顶点 棱线 的投影总和 4 棱柱 常见的基本立体 平面基本体 曲面基本体 Primitives 基本立体是构成复杂立体的基础 棱锥 圆锥 圆环 回转体 5 在图示摆放位置 棱柱的两底面为水平面 其俯视图中反映实形 前后侧棱面是正平面 其余四个侧棱面是铅垂面 侧棱面的水平投影都积聚 并与底面的边重合 点的可见性判别 若点所在平面的投影可见 点的投影亦可见 若点所在平面的投影积聚 点的投影亦可见 由于棱柱的表面都是平面 所以在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同 棱柱的三面投影 棱柱表面取点 棱柱由两个底面和若干侧棱面组成 侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线 侧棱线相互平行 1 棱柱 一 平面立体 由若干平面所围成的几何体 6 在图示摆放位置 其底面ABC是水平面 在俯视图上反映实形 侧棱面SAC是侧垂面 另两个侧棱面SBC和SAB是一般位置平面 2 棱锥 棱锥的三面投影 棱锥表面取点 b a c b 棱锥由一个底面和若干侧棱面组成 所有侧棱线交于锥顶 采用平面内取点 线的方法 7 圆柱面的水平投影积聚成一个圆 而在另外两个投影上分别是用两个方向的轮廓转向线 素线 的投影表示 V W投影的轮廓转向线是不同素线的投影 二 回转体 曲面基本立体 1 圆柱体 圆柱体的三面投影 轮廓转向线 素线 的投影分析与圆柱面的可见性判别 圆柱面上取点 圆柱体由圆柱面和两个底面围成 而圆柱面是由一直线 AA1 绕与它平行的轴线 OO1旋 转形成 直线AA1称为母线 圆柱面上任一位置的母线称为圆柱面的素线 利用投影的积聚性 1 2 3 4 投影分析 圆柱面在W上的投影有积聚性 利用投影的积聚性 1 标记特殊点A B C的投影 3 求各点的侧面投影 4 判别可见性 并光滑连接 A B 圆柱面上取线 作图步骤 2 求各点的水平投影 9 几种柱面体的投影 正圆柱斜圆柱正椭圆柱斜椭圆柱 10 转向轮廓线线的投影与曲面的可见性的判断 在图示摆放位置 H面投影为一圆 V面和W面为等腰三角形 底边为圆锥底面的投影 两腰是圆锥面上不同方向的转向轮廓线的投影 三个投影均没有积聚性 2 圆锥体 圆锥体的三面投影 圆锥表面取点 辅助素线法 辅助纬圆法 s N 圆锥体是由圆锥面和底面构成 圆锥面是由直母线 SA 绕与它相交的轴线 OO1 旋转而成 交点S称为锥顶 母线上的任意点 N 的轨迹为圆 如何在圆锥面上作直线 过锥顶作一条素线 圆的半径 b b b d d 母线与轴交叉会得到什么立体 11 几种锥面体的投影 正圆锥斜圆锥正椭圆锥斜椭圆锥 12 三个视图分别是三个和圆球直径相等的圆 但分别是圆球表面三个方向的转向轮廓线的投影 三个投影均没有积聚性 3 圆球 圆球是由圆母线以其直径为轴旋转而成 圆球的三面投影 转向轮廓线的投影与曲面可见性的判断 圆球表面取点 辅助圆法 圆的半径 13 在图示摆放位置 俯视图是最大和最小纬圆的投影圆 主 左视图的直线段分别是圆母线上的最高点和最低点旋转形成的投影 各投影都是相应方向的转向轮廓线的投影 三个投影均没有积聚性 主 左视图的投影轮廓内是圆环表面的四个层次的重叠 4 圆环 圆环是由圆母线绕其面上不过圆心的轴旋转而成 圆球的三面投影 转向轮廓线的投影与曲面可见性的判断 圆环表面取点 辅助纬圆法 圆环的半径 14 按图示轴线垂直的位置摆放 俯视图是最大和最小纬圆的投影圆 各投影都是相应方向的转向轮廓线的投影 投影均没有积聚性 5 组合回转体 母线是由直线段 圆弧或其它曲线组成 母线绕其中心的轴旋转而成 是基本回转体的组合 组合回转体的投影 转向轮廓线的投影与曲面可见性的判断 回转体表面取点 辅助纬圆法 辅助素线法不适用 15 7 2平面与立体表面相交 可分为 与平面立体表面的截交线 与曲面立体 回转体 表面的截交线 截平面 截交线 截交线 平面与立体相交 截去体的一部分 截切 用于截切立体的平面 截平面 截平面与立体表面的交线 截交线 由截交线围成的平面图形 断面 断面 是由平面折线或平面曲线所围成的封闭轮廓 截交线的几何形状取决于立体的几何形状以及截平面与立体的相对位置 截交线的投影形状还取决于截平面与投影面的相对位置 截交线是截平面与立体表面的共有线 具有共有性 截交线的性质 求截交线的方法 求各棱线与截平面的交点 棱线法 求各棱面与截平面的交线 棱面法 求截交线的步骤 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 确定截交线的几何形状 确定截交线的投影特性 空间及投影分析 画出截交线的投影 充分利用积聚性和面上取点线的方法 分别求出截平面与棱面的交线 并连接成多边形 平面多边形的每条边是截平面与棱面的交线 平面立体的截交线是由直线段围成的封闭平面多边形 一 平面立体表面的截交线 截交线的实际形状 投影分析 例 求被截切后四棱锥的H和W面投影 空间分析 求截交线采用棱线法 分析棱线的投影 检查注意截交线投影的类似性 3 2 1 4 例 求截切后四棱锥被的H和W面投影 整理以后的结果 20 截交线是截平面与回转体表面的共有线 截交线的形状 回转体形状 截平面与回转体轴线的相对位置 求截交线的方法 素线法 纬圆法求截平面与回转体表面的共有点 利用截平面或回转体表面的积聚性 二 回转体的截交线 曲面立体的截交线通常是一条封闭的平面曲线 也可能是由截平面上的曲线和直线所围成的平面图形或多边形 21 画截交线的投影 2 判别截交线的可见性 然后将各点的同名投影依次光滑地连接起来 1 找出截交线上的特殊点 对于投影为非圆曲线应适当补充截交线上的一般点 求截交线的步骤 空间及投影分析 分析回转体的形状及截平面与回转体轴线的相对位置 分析截平面与投影面的相对位置以及积聚性 类似性 确定截交线的几何形状 确定截交线的投影特性 由截交线的已知投影 求解未知投影 22 3 圆柱体的截交线 圆柱体截交线的形状取决于截平面与圆柱体轴线的位置关系 垂直 圆 平行 两平行直线 倾斜 椭圆 例 求侧面投影 平行截交和垂直截交 截平面都垂直于V面 圆柱水平投影积聚 截交线的形状和投影特点 作图步骤 整理W面投影 立体被多个平面截切 需逐个截平面进行分析和作图 空间分析 基本体投影 找出特殊点 扩展讨论如果在圆柱上打一同心圆柱孔 三面投影会成为什么样 例 求侧面投影 整理以后的结果 例 求侧面投影 整理以后的结果 例 求侧面投影 对比分析 转向轮廓线 无转向轮廓线 类似形 例 求水平投影 例 求水平投影 整理以后的结果 例 求水平投影 整理以后的结果 例 求水平投影 对比分析 类似形 类似形 无线 无线 无线 例 求侧面投影 整理以后的结果 截交线形状 直径 面轴夹角 截交线的投影形状受截平面与投影面之间的交角影响 截平面与圆柱轴线成45 时 例 求侧面投影 椭圆和矩形 截平面具有积聚性 作图步骤 整理描深W面投影 空间分析 基本体的侧面投影 找出特殊点 作出适当一般点 判别可见性 光滑连接 36 4 圆锥体表面的截交线 过锥顶 两相交直线 圆 椭圆 抛物线 双曲线 根据截平面与圆锥轴线的位置关系不同 截平面与圆锥面的交线有五种形状 这五种形状又统称圆锥曲线 37 例 圆锥被正平面截切 补全正面投影 截交线的空间形状是双曲线 截交线的投影反映实形 空间分析 作图方法纬圆法 素线法 38 截交线的空间形状是椭圆 截交线的投影反映类似形 例 圆锥被正平面截切 完成侧面 水平投影 2 标记特殊点 如何确定椭圆另一轴的端点 3 补画一般点 4 依次光滑连接各点 5 分析轮廓转向线的投影 清理描深 空间分析 作图方法纬圆法 素线法 作图步骤 1 作出圆锥的侧面轮廓 39 例 圆锥被正平面截切 完成侧面 水平投影 整理以后的结果 40 两个侧平面与圆球面的交线的投影 在W面上为部分圆弧 在水平面上积聚为直线段 5 圆球表面的截交线 平面与圆球截交 截交线的实际形状总是圆 但因截平面与投影面之间的位置关系不同 其截交线的投影可能为圆 椭圆或积聚成一条直线段 水平面与圆球面的交线的投影 在H面上为部分圆弧 在W面上积聚为直线段 例 求半球体截切后的水平和侧面投影 空间分析 41 6 组合回转体的截交线 空间分析 组合回转体由哪些基本回转体构成 以及它们的位置关系 然后分别求出这些基本回转体的截交线 并依次将其连接 其组合截交线应该是封闭的 注意补充一般点 例 求作顶尖的水平投影