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第3练 导数及其应用一、单选题1满足 的一个函数是A B C D 【答案】C【解析】显然只有 C. 满足 2f（x）=x33x2+2在区间1，1上的最大值是（ ）A 2 B 0 C 2 D 4【答案】C考点：导数与最值3设函数，下列结论中正确的是( )A是函数的极小值点，是极大值点 B及均是的极大值点C是函数的极小值点，函数无极大值 D函数无极值【答案】C【解析】;令；时，时，时，故是函数的极小值点，函数无极大值。选C4曲线在点处的切线方程是（ ）A B C D 【答案】B【解析】试题分析：，当时，所以切线方程是，整理为，故选B.考点：导数的几何意义 5若函数f(x)=(x2+ax+3)ex在(0，+)内有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是（ ）A (-，-22 B (-，-22) C (-，-3 D (-，-3)【答案】C【解析】点睛：本题主要考查了导数知识在函数极值上的应用，属于中档题。在本题中，不要遗漏掉a=-3这种特殊情况。6已知函数f(x)=(ax3+4b)e-x，则（ ）A 当ab0时，f(x)在-，0单调递减 B 当ba0时，f(x)在-，0单调递减C 当ab0时，f(x)在0，+单调递增 D 当ba0时，f(x)在0，+单调递增【答案】D【解析】分析：求导f(x)=(-ax3+3ax2-4b)e-x=ae-x(x3-3x2+4ba)然后分析函数单调性根据a，b取值情况，重点分析x3-3x2+4ba最值即可得出原函数的单调情况，从而得出结论详解：f(x)=(-ax3+3ax2-4b)e-x=ae-x(x3-3x2+4ba)，当ba0f(x)在(0,+)单调递增，选D点睛：考查导函数的应用，本题关键是二次求导后研究出函数的最值即可得出结论.7若曲线y=x的一条切线经过点(8,3)，则此切线的斜率为（ ）A 14 B 12 C 14或18 D 12或14【答案】C【解析】8已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）A B C D 【答案】C【解析】由原不等式等价于，若时，不等式成立，若时，可令，则，又，且为单调递增函数，构造函数，则在的最值为，当时，易知在上递减，此时为减函数，不等式成立，当时，且，即，满足不等式，综合得的范围为. 9已知函数f(x)=logax+x,g(x)=ln(x-1)-logxa+4(a1)，若存在实数x0，使得f(x0)=g(x0)，则a=A 2 B 3 C 4 D 5【答案】A【解析】【分析】先化简方程，分组研究logax0+logx0a以及x0-ln(x0-1)最小值，确定等于号取法，解得a.【详解】【点睛】本题考查利用基本不等式求最值以及利用导数求函数最值，考查基本分析与求解能力.10已知函数f(x)=x2-4x+4,g(x)=x-1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为A 三条 B 二条 C 一条 D 0条【答案】A【解析】【分析】分别设出两条曲线的切点坐标，根据斜率相等得到方程8n3-8n2+1=0，构造函数fx=8x3-8x2+1,fx=8x3x-2，研究方程的根的个数，即可得到切线的条数.【详解】设公切线与f(x)和g(x)分别相切于点m,fm,n,fn,fx=2x-4，gx=-x-2,gn=fm=gn-fmn-m，解得m=-n-22+2，代入化简得8n3-8n2+1=0，构造函数fx=8x3-8x2+1,fx=8x3x-2，原函数在-，0，0，23，23，+，极大值f00,极小值，f230 故函数和x轴有交3个点，方程8n3-8n2+1=0有三解，故切线有3条.故选A.【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.考查了函数零点个数问题，即转化为函数图像和x轴的交点问题.11函数fx=13x3+ax2-2x+1在x1,2内存在极值点，则（ ）A -12a12 B -12a12 C a12 D a-12或a12【答案】A【解析】【分析】【详解】若函数fx=13x3+ax2-2x+1在x(1,2)无极值点，则fx=x2+2ax-20或fx=x2+2ax-20在x1,2恒成立.当fx=x2+2ax-20在x1,2恒成立时，-a1时，f(1)=2a-10，得a12；-a2时，f(2)=4a+20，得a；当fx=x2+2ax-20在x1,2恒成立时，则f(1)=2a-10且f(2)=4a+20，得a-12；综上，无极值时a-12或a12.在-12a12在x(1,2)存在极值.故选A【点睛】（1）可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)=0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a,b)内有极值，那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调递增或减的函数没有极值.12设fx=lnx+1x，若函数y=fx-ax2恰有3个零点，则实数a的取值范围为（ ）A (0,e23) B (e23,e) C (1e,1) D (0,1e)e23【答案】A【解析】【分析】【详解】y=fx-ax2恰有3个零点，则lnx+1x3=a恰有3个根，令gx=lnx+1x3，即gx 与y=a恰有3个交点，gx=lnx+1x3=-lnx-1x3,x0,1elnx+1x3,x1e,+，当x0,1e时，gx=3lnx+2x40，当xe-23,+时，gx0，所以gx在e-1,e-23时增函数，在e-23,+时减函数，且fe-23=e23，f1e=0所以a(0,e23)故选A【点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等二、填空题13若函数在上可导， ，则 .【答案】考点：积分运算14若曲线f(x)=4lnx-x2在点(1,-1)处的切线与曲线y=x2-3x+m相切，则m的值是_.【答案】134【解析】【分析】利用导数的几何意义得到切线方程，联立方程，由判别式法得到m的值.【详解】因为f(x)=4lnx-x2，所以f(x)=4x-2x，所以f(1)=2，所以曲线f(x)在点(1,-1)处的切线方程为y+1=2(x-1)，即y=2x-3，联立y=2x-3y=x2-5x+m+3得x2-5x+m+3=0，为直线与曲线相切，所以=25-4(m+3)=0，解得m=134.故答案为：134 【点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点P(x0,y0)及斜率，其求法为：设P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的一点，则以P的切点的切线方程为：y-y0=f(x0)(x-x0)若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为x=x015函数fx=ex-a+x， gx=lnx+1-4ea-x，若x0使得fx0-gx0=4，则a=_.【答案】-ln2【解析】【分析】【详解】令fx-gx=ex-a+x-lnx+1+4ea-x，令y=x-lnx+1y=1-1x+1=xx+1，故y=x-lnx+1在-1,0上是减函数，在0,+上是增函数，当x=0时y有最小值0，而ex-a+4ea-x4当且仅当ex-a=4ea-x，即x=a+ln2，故fx-gx4，当且仅当等号成立时成立，故x=a+ln2=0，即a=-ln2【点睛】本题考查了导数的综合应用及基本不等式的应用，同时考查了方程的根与函数的零点的关系应用，属于中档题16若存在实常数k和b，使得函数fx和Gx对其公共定义域上的任意实数x都满足：Fxkx+b和Gxkx+b恒成立，则称此直线y=kx+b为Fx和Gx的“隔离直线”，已知函数fx=x2xR,gx=1xx0,hx=2elnx(e为自然对数的底数)，有下列命题：mx=fx-gx在x-132,0内单调递增；fx和gx之间存在“隔离直线”，且b的最小值为-4；fx和gx之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是-4,1；fx和hx之间存在唯一的“隔离直线”y=2ex-e其中真命题的序号为_(请填写正确命题的序号)【答案】【解析】【分析】由题意结合“隔离直线”的定义逐一考查所给的说法是否正确即可.【详解】、设f(x)、g(x)的隔离直线为y=kx+b,则x2kx+b对一切实数x成立,即有10,k2+4b0，b0，又1xkx+b对一切x0成立,则kx2+bx10,即20,b2+4k0，k0，即有k24b且b24k,k416b264k4k0，同理可得4b0，故对，错；函数f(x)和h(x)的图象在x=e处有公共点e,e,因此若存在f(x)和g(x)的隔离直线，那么该直线过这个公共点,设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为ye=k(xe),即y=kxke+e，由f(x)kxke+e(xR),可得x2kx+kee0当xR恒成立，则0,即k-2e20，故k=2e,此时直线方程为：y=2ex-e，下面证明hx2ex-e：令Gx=2ex-e-hx=2ex-e-2elnx，则Gx=2ex-ex，当x=e时,G(x)=0,当0xe时,G(x)e时,G(x)0，则当x=e时,G(x)取到极小值，极小值是0，也是最小值.所以Gx=2ex-e-hx0,则hx2ex-e当x0时恒成立.函数f(x)和g(x)存在唯一的隔离直线y=2ex-e，故正确.故答案为：. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
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