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课时分层作业 四十七圆 的 方 程一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0【解析】选D.因为圆心为(0,3),直线x+y+1=0的斜率为-1,所以直线l的斜率为1,所以l的方程是y=x+3,即x-y+3=0.【变式备选】1.圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为()A.1B.2C.D.2【解析】选C.圆心(-1,0),直线x-y+3=0.所以圆心到直线的距离为=.2.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-B.-C.D.2【解析】选A.圆x2+y2-2x-8y+13=0化为标准方程为(x-1)2+(y-4)2=4,故圆心为(1,4),d=1,解得a=-.3.圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=_.【解析】因为圆心为(1,2),所以圆心到直线3x+4y+4=0的距离为d=3.答案:32.设P为圆x2+y2+4x-6y-12=0上的动点,则点P到直线3x-4y-12=0的距离的最小值为()A.B.1C.11D.【解析】选B.因为由x2+y2+4x-6y-12=0配方得(x+2)2+(y-3)2=25,所以圆心为(-2,3),半径为5,所以圆心到直线3x-4y-12=0的距离为d=6,所以由平面几何性质,圆上的动点P到直线的距离的最小值为d-r=6-5=1.3.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为()A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1【解析】选A.设圆心坐标为(0,b),则由题意知=1,解得b=2,故圆的方程为x2+(y-2)2=1.【一题多解】选A.由圆心在y轴上,半径为1,点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为(0,2),故圆的方程为x2+(y-2)2=1.【变式备选】设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得OMN=45,则x0的取值范围是()A.-1,1B.C.-,D.【解析】选A.如图,因为点M在直线y=1上,当点N为(0,1)时,x0=1,当|x0|1时,不存在N,符合条件,所以x0的取值范围是-1,1.4.已知圆C与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为()A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2【解析】选B.圆心在x+y=0上,排除C,D,再结合图象,如图,或者验证A,B中圆心到两直线的距离等于半径即可.【变式备选】已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为() A.(x+2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=1【解析】选B.圆C1的圆心坐标为(-1,1),半径为1,设圆C2的圆心坐标为(a,b),由题意得解得所以圆C2的圆心坐标为(2,-2),又两圆的半径相等,故圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.5.过点P(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B ,则直线AB的方程为()A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0 D. 4x+y-3=0【解析】选A.设切点A(x1,y1) ,B(x2,y2),圆心为C(1,0),半径为1,因为 ,所以-4x1+3+-y1=0,又因为-2x1+1+=1,所以2x1+y1-3=0,同理可得2x2+y2-3=0,所以直线AB的方程为2x+y-3=0.二、填空题(每小题5分,共15分)6.经过三点(2,-1),(5,0),(6,1)的圆的一般方程为_.【解析】设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则解得所以所求圆的一般方程为x2+y2-4x-8y-5=0.答案:x2+y2-4x-8y-5=0【变式备选】已知在RtABC中,A(0,0),B(6,0),则直角顶点C的轨迹方程为_.【解析】依题意,顶点C的轨迹是以AB为直径的圆,且去掉端点A,B,圆心坐标为(3,0),半径为3,故直角顶点C的轨迹方程为(x-3)2+y2=9(y0),即为x2+y2-6x =0(y0).答案:x2+y2-6x=0(y0)【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:设顶点C的坐标为(x,y),由于ACBC,故kACkBC=-1,所以=-1,所以x2+y2-6x=0,即直角顶点C的轨迹方程为(x-3)2+y2=9(y0).即为x2+y2-6x=0(y0).答案:x2+y2-6x=0(y0)7.已知圆C: x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C上,则a=_.【解析】由已知直线l:x-y+2=0经过圆心,所以-1+2=0,所以a=-2.答案:-2【变式备选】若圆(x+1)2+(y-3)2=9上的相异两点P,Q关于直线kx+2y-4=0对称,则k的值为_.【解析】圆是轴对称图形,过圆心的直线都是它的对称轴.已知圆的圆心为(-1,3),由题设知,直线kx+2y-4=0过圆心,则k(-1)+23-4=0,解得k=2.答案:28.已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4.则圆P的方程为_.【解析】由题意知,直线AB的斜率k=1,中点坐标为(1,2).则直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.设圆心P(a,b),则由点P在CD上得a+b-3=0.又因为直径|CD|=4,所以|PA|=2,所以(a+1)2+b2=40.由解得或所以圆心P(-3,6)或P(5,-2).所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.即为x2+y2+6x-12y+5=0或x2+y2-10x+4y-11=0.答案:x2+y2+6x-12y+5=0或x2+y2-10x+4y-11=0【变式备选】圆C通过不同的三点P(k,0),Q(2,0),R(0,1),已知圆C在点P处的切线斜率为1,则圆C的方程为_.【解析】设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则k,2为x2+Dx+F=0的两根,所以k+2=-D,2k=F,即D=-(k+2),F=2k,又圆过R(0,1),故1+E+F=0.所以E=-2k-1.故所求圆的方程为x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0,圆心坐标为.因为圆C在点P处的切线斜率为1,所以kCP=-1=,所以k=-3.所以D=1,E=5,F=-6.所以所求圆C的方程为x2+y2+x+5y-6=0.答案:x2+y2+x+5y-6=0三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知直线l:y=x+m,mR,若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P,且点P在y轴上,求该圆的方程.【解析】方法一:依题意,点P的坐标为(0,m),因为MPl,所以1=-1,解得m=2,即点P的坐标为(0,2),圆的半径r=|MP|=2,故所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.方法二:设所求圆的半径为r,则圆的方程可设为(x-2)2+y2=r2,依题意,所求圆与直线l:x-y+m=0相切于点P(0,m),则解得所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.10.已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标.(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.【解析】(1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).(2)设M(x,y),依题意=0,所以(x-3,y)(x,y)=0,则x2-3x+y2=0,所以+y2=.又原点O(0,0)在圆C1外,因此中点M的轨迹是圆C与圆C1相交落在圆C1内的一段圆弧.由消去y2得x=,因此x3.所以线段AB的中点M的轨迹方程为+y2=.1.(5分)已知圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,bR)对称,则ab的取值范围是 ()A.B.C.D.【解析】选A.将圆的方程化成标准形式得(x+1)2+(y-2)2=4,若圆关于已知直线对称,则圆心(-1,2)在直线上,代入整理得a+b=1,故ab=a(1-a)=-+.【变式备选】已知圆x2+y2-2ax-2by-2 019=0的圆心在直线2x+3y-1=0上,则a2+b2的最小值为_.【解析】因为圆心为(a,b),所以2a+3b=1,所以b=.所以a2+b2=,当且仅当a=,b=时取等号,所以a2+b2的最小值为.答案:2.(5分)已知圆C:(x-3)2+(y+5)2=25和两点A(2,2),B(-1,-2),若点P在圆C上且SABP=,则满足条件的P点有_个.【解析】因为A(2,2),B(-1,-2),所以|AB|=5,又因为SABP=,所以P到AB的距离为1,又直线AB的方程为=,即4x-3y-2=0,依题意圆心C与直线的距离为=5,且圆的半径R=5,所以直线AB与圆相切,所以符合条件的点P有2个.答案:23.(5分)已知直线l:x+y-2=0和圆C:x2+y2-12x-12y+54=0,则与直线l和圆C都相切且半径最小的圆的标准方程是_.【解析】圆:x2+y2-12x-12y+54=0的圆心C(6,6),半径r=3,圆心C(6,6)到x+y-2=0的距离d=5,与直线x+y-2=0和圆x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的圆心在过C与x+y-2=0垂直的直线l1上,所求圆的半径R= (5-3)=,直线l1:y-6=x-6,即y=x,设所求圆的方程为:(x-a)2+(y-a)2=2,解方程组得x+y-2=0与l1的交点(1,1),解方程:(1-a)2+(1-a)2=2,得a=2或a=0(不符合已知条件,舍去),所以所求圆的方程为:(x-2)2+(y-2)2=2.答案:(x-2)2+(y-2)2=2【一题多解】如图,圆C的圆心为(6,6),半径为3,所以所求的圆的圆心为(2,2),半径为,所以所求的圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=2,即为x2+y2-4x-4y+6 =0.答案:(x-2)2+(y-2)2=24.(12分)四个点A(1,3),B(3,2),C(3,-5),D(-3,-5). (1)求这个四边形ABCD的面积.(2)求证:这四个点共圆,并求出这个圆的方程.【解析】(1)在平面直角坐标系中,画出四个点,如图,因为=(2,-1),=(-4,-8),=(6,0),=(0,-7),所以,所以SABD=4=10,SCBD=76=21,所以四边形ABCD的面积为SADB+SBCD=31.(2)由(1)知,四个点都在以BD为直径的圆上,BD的中点为,|BD|=,所以圆的方程为x2+=,即x2+y2+3y-19=0.5.(13分)已知以点C(tR,t0)为圆心的圆与x轴交于点O和点A,与y轴交于点O和点B,其中O为原点.(1)求证:OAB的面积为定值.(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程.【解析】(1)因为圆C过原点O,所以|OC|2=t2+.设圆C的方程是(x-t)2+=t2+,令x=0,得y1=0,y2=;令y=0,得x1=0,x2=2t,所以SOAB=|OA|OB|=|2t|=4,即OAB的面积为定值.(2)因为|OM|=|ON|,|CM|=|CN|,所以OC垂直平分线段MN.因为kMN=-2,所以kOC=.所以=t,解得t=2或t=-2.当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),|OC|=,此时,C到直线y=-2x+4的距离d=.圆C与直线y=-2x+4不相交,所以t=-2不符合题意,舍去.所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.即为x2+y2-4x-2y=0.【变式备选】在直角坐标系xOy中,以O为圆心的圆与直线x-y=4相切.(1)求圆O的方程.(2)圆O与x轴相交于A,B两点,圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求的取值范围.【解析】(1)依题设,圆O的半径r等于原点O到直线x-y=4的距离,即r=2.所以圆O的方程为x2+y2=4.(2)不妨设A(x1,0),B(x2,0),x1x2.由x2=4得A(-2,0),B(2,0).设P(x,y),由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得 =x2+y2,即x2-y2=2.=(-2-x,-y)(2-x,-y)=x2-4+y2=2(y2-1).由于点P在圆O内,故由此得y21.所以的取值范围为-2,0).
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