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第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.命题p:“xN*,12x12”的否定为() A.xN*,12x12B.xN*,12x12C.xN*,12x12D.xN*,12x12答案D命题p:“xN*,12x12”是全称命题,“xN*,12x12”的否定是“xN*,12x12”,故选D.2.下列四个命题中的真命题为() A.x0Z,14x00答案D选项A中,14x00,所以方程x2-2ax-1=0有两个实数根,所以命题p是真命题;当x0时,f(x)=x+4xy是1x1y成立的充要条件C.设p,q为简单命题,若“p或q”为假命题,则“p或q”也为假命题D.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为假命题答案D命题“存在xR,使得x2+x+10”的否定是“任意xR,使得x2+x+10y时,1x1y,此时1x1y不成立,故B说法错误.“p或q”为假命题,则命题p和q都是假命题,则p是真命题,q是真命题,所以“p或q”为真命题,故C说法错误.若x2-3x+2=0,则x=1或x=2,所以原命题为假命题,故其逆否命题也为假命题,D说法正确.故选D.7.(2018河南师范大学附属中学开学考)已知命题p:“x0,1,aex”,命题q:“xR,x2+4x+a=0”,若命题“pq”是真命题,则实数a的取值范围是()A.(4,+)B.1,4C.(-,1)D.e,4答案D命题p等价于lnax对x0,1恒成立,所以lna1,解得ae;命题q等价于关于x的方程x2+4x+a=0有实根,则=16-4a0,所以a4.因为命题“pq”是真命题,所以命题p真,命题q真,所以实数a的取值范围是e,4,故选D.8.下列命题是真命题的是()A.R,函数f(x)=sin(2x+)都不是偶函数B.,R,使得cos(+)=cos+cosC.向量a=(2,1),b=(-1,0),则a在b方向上的投影是2D.“|x|1”是“x1”的既不充分也不必要条件答案B当=2+k(kZ)时,f(x)=cos2x为偶函数,故A为假命题;当=-2,=4时,cos(+)=cos+cos,故B为真命题;a在b方向上的投影是|a|cos=|a|ab|a|b|=ab|b|=-2,故C为假命题;因为x|x|1包含于x|x1,所以“|x|1”是“x1”的充分不必要条件,故D为假命题.故选B.9.命题p的否定是“对所有正数x,xx+1”,则命题p是.答案x0(0,+),x0x0+1解析因为p是p的否定,所以只需将全称量词变为存在量词,再对结论进行否定即可.10.已知命题p:x2+4x+30,q:xZ,且“pq”与“q”同时为假命题,则x=.答案-2解析若p为真,则x-1或x-3,因为“q”为假,所以q为真,即xZ,又因为“pq”为假,所以p为假,故-3x0”的否定为假命题,则实数a的取值范围是.答案56,+解析由“xR,x2-5x+152a0”的否定为假命题,可知原命题必为真命题,即不等式x2-5x+152a0对任意实数x恒成立.设f(x)=x2-5x+152a,则由题意知其图象恒在x轴的上方.故=25-4152a56,即实数a的取值范围是56,+.13.设命题p:函数y=loga(x+1)在区间(-1,+)内单调递减,q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴有两个不同的交点.若p(q)为真命题,求实数a的取值范围.解析函数y=loga(x+1)在区间(-1,+)内单调递减0a0a52.所以若p为真命题,则0a1;若q为真命题,则a52.因为p(q)为真命题,所以p为真命题,q为假命题.由0a1,12a52,得12a1,所以实数a的取值范围是12,1.
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