解析几何部分直线方程.ppt

第1课时直线方程 要点 疑点 考点 1 倾斜角 斜率 截距直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角 叫做这条直线的倾斜角 倾斜角的取值范围是 0 2 若直线的倾斜角为 90 则k tan 叫做这条直线的斜率 经过两点P1 x1 y1 P2 x2 y2 x1 x2 的直线的斜率 3 直线的横截距是直线与x轴交点的横坐标 直线的纵截距是直线与y轴交点的纵坐标 2 直线方程的五种形式 1 点斜式 设直线l过定点P x0 y0 斜率为k 则直线l的方程为y y0 k x x0 2 斜截式 设直线l斜率为k 在y轴截距为b 则直线l的方程为y kx b 3 两点式 设直线l过两点P1 x1 y1 P2 x2 y2 x1 x2 y1 y2则直线l的方程为 y y1 y2 y1 x x1 x2 x1 4 截距式 设直线l在x y轴截距分别为a b ab 0 则直线l的方程为x a y b 1 5 一般式 直线l的一般式方程为Ax By C 0 A2 B2 0 2 直线l经过点M 2 1 其倾斜角是直线x 3y 4 0的倾斜角的2倍 直线l的方程是 课前热身 3 已知直线l的倾斜角为 sin cos 1 5 则l的斜率k 0 30 150 180 3x 4y 2 0 4 3 4 直线l在x y轴上截距的倒数和为常数1 m 则直线过定点 5 A B是x轴上两点 点P的横坐标为2 且 PA PB 若直线PA的方程为x y 1 0 则直线PB的方程为 A 2x y 1 0 B x y 5 0 C 2x y 7 0 D 2y x 4 0 m m B 能力 思维 方法 解题回顾 根据条件的不同情况选择方程的适当形式 用待定系数法求解直线方程 1 已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3 分别求满足下列条件的直线l的方程 1 过定点A 3 4 2 斜率为1 6 2 直线l被两条直线l1 4x y 3 0和l2 3x 5y 5 0截得的线段中点为P 1 2 求直线l的方程 解题回顾 除以上解法外 设点斜式为y 2 k x 1 再由中点概念求k也是可行的 解题回顾 数形结合强调较多的是将代数问题几何化 而解析法则是通过坐标系将几何问题代数化 3 设 ABC为正三角形 边BC AC上各有一点D E 而且 BD BC CE CA AD BE交于P 求证 AP CP 4 已知直线l y ax 2和A 1 4 B 3 1 两点 当直线l与线段AB相交时 求实数a的取值范围 解题回顾 研究直线l的斜率a与直线AC BC的斜率的大小关系时 要注意观察图形 请读者研究 如果将本题条件改为A 1 4 B 3 1 结论又将如何 延伸 拓展 5 直线l过点P 2 1 且分别交x轴 y轴的正半轴于点A B O为坐标原点 1 当 AOB的面积最小时 求直线l的方程 2 当 PA PB 取最小值时 求直线l的方程 解题回顾 求直线方程的基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量 在研究最值问题时 可以从几何图形开始 找到取最值时的情形 也可以从代数角度考虑 构建目标函数 进而转化为研究函数的最值问题 这种方法常常随变量的选择不同 而运算的繁易不同 解题时要注意选择 误解分析 1 选择适当的变量建立目标函数是解决本题之关键 也是出错的主要原因 2 能否正确地从目标函数中变形出使用基本不等式的形式也是出错原因之一 第2课时两条直线的位置关系 1 两条直线的平行与垂直两条直线有斜率且不重合 则l1 l2 k1 k2两条直线都有斜率 l1 l2 k1 k2 1若直线l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 则l1 l2 A1A2 B1B2 0无论直线的斜率是否存在 上式均成立 所以此公式用起来更方便 2 两条直线l1 l2相交构成四个角 它们是两对对顶角 把l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角 叫做l1到l2的角 l1到l2的角的范围是 0 l1与l2所成的角是指不大于直角的角 简称夹角 到角的公式是 夹角公式是 以上公式适用于两直线斜率都存在 且k1k2 1 若不存在 由数形结合法处理 3 若l1 A1x B1y C1 0 A1 B1不同时为零 l2 A2x B2y C2 0 A2 B2不同时为0 则当A1 A2 B1 B2时 l1与l2相交 当A1 A2 B1 B2 C1 C2时 l1 l2 当A1 A2 B1 B2 C1 C2时 l1与l2重合 以上结论是针对l2的系数不为零时适用 5 两条平行线l1 Ax By C1 0 l2 Ax By C2 0的距离为 4 点到直线的距离公式为 2 若直线l1 mx 2y 6 0和直线l2 x m 1 y m2 1 0平行但不重合 则m的值是 1 已知点P 1 2 直线l 2x y 1 0 则过点P且与直线l平行的直线方程为 过点P且与直线l垂直的直线方程为 过点P且直线l夹角为45 的直线方程为 点P到直线L的距离为 直线L与直线4x 2y 3 0的距离为 课前热身 zx y 4 0 x 2y 3 0 3x y 5 0或x 3y 7 0 1 3 若直线l1 y kx k 2与l2 y 2x 4的交点在第一象限 则k的取值范围是 2 3 k 2 5 使三条直线4x y 4 mx y 0 2x 3my 4不能围成三角形的实数m的值最多有 个 4 已知长方形的四个顶点A 0 0 B 2 0 C 2 1 和D 0 1 一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为 的方向射到BC上的点P1后 依次反射到CD DA和AB上的点P2 P3和P4 入射角等于反射角 设P4的坐标为 x4 0 若1 x4 2 则tan 的取值范围是 A 1 3 1 B 1 3 2 3 C 2 5 1 2 D 2 5 2 3 C 4 能力 思维 方法 1 已知二直线l1 mx 8y n 0和l2 2x my 1 0 试确定m n的值 使 l1与l2相交于点P m 1 l1 l2 l1 l2 且l1在y轴上的截距为 1 解题回顾 若直线l1 l2的方程分别为A1x B1y C1 0和A2x B2y C2 0 则l1 l2的必要条件是A1B2 A2B1 0 而l1 l2的充要条件是A1A2 B1B2 0 解题中为避免讨论 常依据上面结论去操作 2 已知 ABC的顶点A 3 1 AB边上的中线所在直线方程为6x 10y 59 0 B的平分线所在直线的方程为 x 4y 10 0 求BC边所在的直线的方程 解题回顾 本题在处理角平分线时 是利用直线BC到BT的角等于BT到AB的角 由图观察得到 进而利用到角公式求得直线BC的斜率 但同时也应注意 由于直线BT是 B的角平分线 故直线BA与BC关于直线BT对称 进而可得到A点关于直线BT的对称点A 在直线BC上 其坐标可由方程组解得即为 1 7 直线BC的方程即为直线BA 的方程 3 直线l过点 1 0 且被两平行直线3x y 6 0和3x y 3 0所截得的线段长为9 求直线l的方程 解题回顾 1 解法一给出了这类问题的通法 即设出直线的方程 通过设适当的未知数 进而利用条件列出相关的方程 求出未知数 2 本题解法二巧妙地利用两平行直线之间的距离和直线l被两平行直线所截得的线段长之间的关系 求得直线l与两平行直线的夹角 进而求得直线的斜率 3 与已知直线夹角为 为锐角 的直线斜率应有两个 若只求出一个 应补上倾斜角为 2的直线 解题回顾 注意平行直线系方程和垂直直线系方程的使用 4 已知正方形的中心为直线2x y 2 0和x y 1 0的交点 正方形一边所在直线的方程为x 3y 5 0 求其他三边的方程 延伸 拓展 5 已知数列 an 是公差d 0的等差数列 其前n项和为Sn 1 求证 点在同一直线l1上 2 若过点M1 1 a1 M2 2 a2 的直线为l2 l1 l2的夹角为 解题回顾 本题是直线方程与数列 不等式的一个综合题 关键是把看成一个等差数列 同时也是关于n的一次函数 进而转化为直线方程 误解分析 不能把灵活变换角度看成关于n的一次函数 进而转化为直线方程是出错的主要原因 第3课时线性规划 1 二元一次不等式表示平面区域 1 二元一次不等式Ax By C 0在平面直角坐标系中表示直线l Ax By C 0一侧所有点组成的平面区域 直线l应画成虚线 Ax By C 0 表示直线l另一侧所有点组成的平面区域 画不等式Ax By C 0 0 所表示的平面区域时 应把边界直线画成实线 2 二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式表示的平面点集的交集即各个不等式所表示的平面区域的公共部分 要点 疑点 考点 2 线性规划 1 对于变量x y的约束条件 都是关于x y的一次不等式 称为线性约束条件 z f x y 是欲达到最值所涉及的变量x y的解析式 叫做目标函数 当f x y 是关于x y的一次解析式时 z f x y 叫做线性目标函数 2 求线性目标函数在约束条件下的最值问题称为线性规划问题 满足线性约束条件的解 x y 称为可行解 由所有解组成的集合叫可行域 使目标函数取得最值的可行解叫最优解 2 已知x y满足约束条件 则z 2x 4y的最小值为 A 6 B 6 C 10 D 10 1 三角形三边所在直线方程分别是x y 5 0 x y 0 x 3 0 用不等式组表示三角形的内部区域 包含边界 课前热身 B 3 如果函数y ax2 bx a的图象与x轴有两个交点 则点 a b 在aOb平面上的区域 不包含边界 为 C 4 平面内满足不等式组的所有点中 使目标函数z 5x 4y取得最大值的点的坐标是 4 0 5 在如图所示的坐标平面的可行域内 阴影部分且包括周界 目标函数z x ay取得最小值的最优解有无数个 则a的一个可能值为 A 3 B 3 C 1 D 1 A 能力 思维 方法 1 若x y满足条件 求z x 2y的最大值和最小值 解题回顾 画可行域时 先画出相应的几条直线 在确定最值时注意t的几何意义 2 某工厂制造甲 乙两种产品 已知制造甲产品1kg要用煤9吨 电力4kw 劳力 按工作日计算 3个 制造乙产品1kg要用煤4吨 电力5kw 劳力10个 又知制成甲产品1kg可获利7万元 制成乙产品1kg可获利12万元 现在此工厂只有煤360吨 电力200kw 劳力300个 在这种条件下应生产甲 乙两种产品各多少千克 才能获得最大经济效益 解题回顾 1 用线性规划的方法解题的一般步骤是 设未知数 列出约束条件及目标函数 作出可行域 求出最优解 写出答案 2 本例的关键是分析清楚在哪一个点取最大值 可以先将z 7x 12y化成 利用直线的斜截式方程可以看出在何处取得最大值 解题回顾 由于钢板的张数为整数 所以必须寻找最优整数解 调优的办法是在以z取得最值的附近整数为基础通过解不等式组可以找出最优解 延伸 拓展 4 设x 0 y 0 z 0 p 3x y 2z q x 2y 4z x y z 1求点P p q 的活动范围 解题回顾 本题实际上是借助二元一次不等式表示平面区域有关知识求解 不能将其转化为二元一次不等式表示的平面区域问题是出错主要原因 5 某人上午7时 乘摩托艇以匀速V海里 时 4 V 20 从A港出发到距50海里的B港去 然后乘汽车以匀速W千米 时 30 W 100 自B港向距300千米的C市驶去 应该在同一天下午4至9点到达C市 设汽车 摩托艇所需的时间分别是x y小时 如果已知所要经费P 100 3 5 x 2 8 y 元 那么V W分别是多少时 走得最经济 此时需花费多少元 解题回顾 要能从实际问题中 建构有关线性规划问题的数学模型 1 题设中已知量较多 建构不出有关数学模型导致出错 误解分析 2 不能将其转化为线性规划问题 也是出错原因 第4课时圆 要点 疑点 考点 2 标准方程设圆心C a b 半径为r 则标准方程为 x a 2 y b 2 r2 当圆心在原点时 圆的方程为x2 y2 r2 1 定义平面内与定点距离等于定长的点的集合 或轨迹 是圆 3 一般方程D2 E2 4F 0时 方程x2 y2 Dx Ey F 0叫圆的一般方程 5 圆的参数方程设圆心C a b 半径为r 则参数方程为 为参数 1 过圆x2 y2 4外一点P 4 2 作圆的两条切线 切点为A B 则 ABP的外接圆方程是 A x 4 2 y 2 2 1 B x2 y 2 2 4 C x 2 2 y 1 2 1 D x 2 2 y 1 2 5 课前热身 D 4 方程x2 y2 2 t 3 x 2 1 4t2 y 16t2 9 0 t R 表示圆方程 则t的取值范围是 A B C D D C 5 k R 直线 k 1 x ky 1 0被圆 x 1 2 y 1 2 4截得的弦长是 A 8 B 2 C 4 D 值与k有关 C 能力 思维 方法 解题回顾 求圆的方程有两类方法 1 几何法 通过研究圆的性质 直线和圆 圆与圆的位置关系 进而求得圆的基本量和方程 2 代数法 即用 待定系数法 求圆的方程 其一般步骤是 根据题意选择方程的形式 标准形式或一般形式 利用条件列出关于a b r或D E F的方程组 解出a b r或D E F 代入标准方程或一般式方程 2 已知圆同时满足 1 截y轴所得弦长为2 2 被x轴分成两段圆弧 其弧长的比为3 1 3 圆心到直线x 2y 0的距离为55 求圆的方程 若本题改为满足 1 2 所有圆中 求圆心到x 2y 0的距离最小的圆的方程 又如何求解 解题回顾 1 本题可以理解成在约束条件下 求目标函数z x y的最值 因此可以按线性规划思想求解 先作出可行域是一个圆 再平行移动直线x y 0 相切时的两切线中的较小截距即为所求 2 通过数形结合 本题也可求如x2 y 形式的最值 解题回顾 本题也可用分析法求证 即要证原不等式成立 即证 ax by 2 a2 b2 x2 y2 4 已知x2 y2 z2 x y z a b R 求证 延伸 拓展 5 在 ABC中 已知 P是内切圆上一点 求PA2 PB2 PC2的最大值与最小值 解题回顾 对于圆上的动点 常常利用圆的参数方程 设其坐标为 a rcos b rsin 在求某一变量的最值时 常构造一个目标函数加以解决 如本题中 PA2 PB2 PC2 80 8sin EOP 0 2 误解分析 1 求圆的方程时 一般要建立三元方程组求a b r或D E F 解方程组时 不要漏解 2 利用圆的参数方程解题时 要注意参数 的变化范围 如果默认 R 会出现误解 第5课时直线与圆的位置关系 要点 疑点 考点 1 点与圆设点P x0 y0 圆 x a 2 y b 2 r2则点在圆内 x0 a 2 y0 b 2 r2 点在圆上 x0 a 2 y0 b 2 r2 点在圆外 x0 a 2 y0 b 2 r2 2 线与圆 1 设直线l 圆心C到l的距离为d 则圆C与l相离 d r 圆C与l相切 d r 圆C与l相交 d r 2 由圆C方程及直线l的方程 消去一个未知数 得一元二次方程 设一元二次方程的根的判别式为 则l与圆C相交 0 l与圆C相切 0 l与圆C相离 0 3 圆与圆设圆O1的半径为r1 圆O2的半径为r2 则两圆相离 O1O2 r1 r2 外切 O1O2 r1 r2 内切 O1O2 r1 r2 内含 O1O2 r1 r2 相交 r1 r2 O1O2 r1 r2 1 已知向量a 2cos 2sin b 3cos 3sin a与b的夹角为60 则直线xcos ysin 1 2 0与圆 x cos 2 y sin 2 1 2的位置关系是 A 相切 B 相交 C 相离 D 随 的值而定 课前热身 C 3 过两圆x2 y2 6x 4 0和x2 y2 6y 28 0的交点且圆心在直线x y 4 0上的圆方程是 A x2 y2 x 5y 2 0 B x2 y2 x 5y 2 0 C x2 y2 x 7y 32 0 D x2 y2 x 7y 32 0 C 2 直线x y 1 0被圆x2 y2 4截得的弦长是 5 已知圆C x a 2 y 2 2 4 a 0 及直线l x y 3 0当直线l被C截得的弦长为时 则a A B C D 4 两圆x2 y2 6x 4y 12 0和x2 y2 14x 12y 14 0的位置关系是 A 相离 B 外切 C 相交 D 内切 C C 能力 思维 方法 解题回顾 要求过一定点的圆的切线方程 首先必须判断这点是否在圆上 若在圆上 则该点为切点 若在圆外 一般用 圆心到切线的距离等于半径长 来解题较为简单 切线应有两条 若求出的斜率只有一个 应找出过这一点而与x轴垂直的另一条切线 1 过M 2 4 向圆 x 1 2 y 3 2 1引切线 求切线的方程 2 求通过直线l 2x y 4 0及圆C x2 y2 2x 4y 1 0的交点 并且有最小面积的圆的方程 解题回顾 若设A x1 y1 B x2 y2 则以AB为直径的圆方程可设 x x1 x x2 y y1 y y2 0 即x2 y2 x1 x2 x y1 y2 y x1x2 y1y2 0 然后用韦达定理求出圆方程 3 直线3x 4y m 0与圆x2 y2 5y 0交于两点A B 且OA OB O为原点 求m的值 解题回顾 解法1利用圆的性质 解法2是解决直线与二次曲线相交于两点A B且满足OA OB 或AC BC 其中C为已知点 的问题的一般解法 延伸 拓展 4 过点P 2 3 作圆C x 4 2 y 2 2 9的两条切线 切点分别为A B 求 1 经过圆心C 切点A B这三点的圆的方程 2 直线AB的方程 3 线段AB的长 解题回顾 直线和二次曲线相交 所得弦的弦长是或 这对直线和圆相交也成立 但直线和圆相交所得弦的弦长更常使用垂径定理和勾股定理求得 O1 x2 y2 D1x E1y F1 0和 O2 x2 y2 D2x E2y F2 0相交时 公共弦方程为 D1 D2 x E1 E2 y F1 F2 0 5 从圆C x2 y2 4x 6y 12 0外一点P a b 向圆引切线PT T为切点 且 PT PO O为原点 求 PT 的最小值及此刻P的坐标 解题回顾 在2a 3b 6 0的条件下求 PT 2 a2 b2的最小值的方法还有几种 求圆r2 a2 b2与直线2a 3b 6 0有公共点时的最小半径的平方 此刻圆与直线相切 即原点到直线2a 3b 6 0的距离的平方 用三角函数方法 由 PT 2 a2 b2 可设a PT cos b PT sin 代入2a 3b 6 0 得2 PT cos 3 PT sin 6 于是应该有 2 PT 2 3 PT 2 36 即得 PT 此刻点P的坐标是 误解分析 2 在课前热身4中 判断两圆关系得到 O1O2 r1 r2 未必相交 还可能内含 一定要追加 O1O2 r1 r2 才行 1 求过定点的圆的切线方程 一定要判定点的位置 若在圆外 一般有两条切线 容易遗漏斜率不存在的那一条