解析函数与调和函数.ppt

1 2 4解析函数 若f z 在不解析 则称该点为f z 的奇点 重点 1 定义 如果函数f z 不仅在处可导 而且在的某个邻域内任意点可导 则称f z 在处解析 如果函数在区域D内任意点解析 则称f z 在区域D内解析 2 在一个点的可导性是一个局部概念 而解析性是一个整体概念 注 1 f z 在某点解析 也就是指f z 在包含该点的某邻域内解析 2 f z 在闭区域上解析 也就是指f z 在包含的某邻域内解析 1 w f z 在D内解析在D内可导 2 函数f z 在z0点可导 未必在z0解析 3 例讨论函数的解析性1 f x 的解析性2 f x 的解析性 4 2 函数解析的充要条件定理2 9函数f z u x y iv x y 在其定义域D内解析的充要条件是 u v在D内可微 且满足柯西 黎曼方程 例2 19讨论下列函数的解析性1 f z 2x 1 y i x2 y2 2y 2 f z 3 f z zRe z x iy x 问题如何判断函数的解析性呢 记忆 5 6 7 例2 20证明若函数f z 在某区域内任意点均解析且导数为零 则该函数在此区域上为常数 证明 设f z u x y iv x y 8 3 初等函数的解析性 定理1设w f z 及w g z 是区域D内的解析函数 则f z g z f z g z 及f z g z g z 0时 均是D内的解析函数 定理2设w f h 在h平面上的区域G内解析 h g z 在z平面上的区域D内解析 h g z 的函数值集合G 则复合函数w f g z 在D内处处解析 9 40三角函数和双曲函数在其定义域内解析 反三角函数和反双曲函数要具体讨论 30幂函数 1 为正整数和零时 在整个复平面解析 2 为负整数时 在除原点外整个复平面解析 3 为既约分数 无理数 复数时 在除去原点和负实轴外的复平面解析 10指数函数ez在整个复平面上解析 20对数函数Lnz的主值及各分支函数在除去原点和负实轴外处处解析 10 2 5调和函数 调和函数 设二元实变量函数h x y 在区域D内具有连续的二阶偏导数 并且满足拉普拉斯方程 则称h x y 其为D内的调和函数 11 共轭调和函数设函数u x y v x y 均是D内的调和函数 而且它们满足柯西 黎曼方程 则称v x y 为u x y 的共轭调和函数 定理 上面定理说明 12 注 一般地 若v为u在D内的共轭调和函数 则 u为v在D内的共轭调和函数 u是 v的共轭调和函数 设f z u x y iv x y 则f z 在D内解析 在D内v x y 是u x y 的共轭调和函数 f z v x y iu x y 在区域D内亦解析 f z v x y iu x y 在区域D内亦解析 13 现在研究反过来的问题 14 三 已知实部或虚部求解析函数表达式设f z u x y iv x y 是解析函数 1 方法一 例已知解析函数f z 的实部求其虚部v 对于已知v 求u的情况 可采取同样的方法 15 例2 22已知下面的调和函数 求解析函数f z u iv1 u shxsiny2 v x2 y2 2y 16 17 公式不用强记 可如下推出 18 类似地 然后两端积分得 19 例2 23已知调和函数u x y 求其共轭调和函数v x y 使f z u iv在相应区域解析 20 例2 24已知f z 的虚部为v x y 求解析函数f z u iv 且f 0 0 21 四 本章总结本章重点学习了复变函数的连续 可导 解析函数 调和函数的概念 给出了各自的充要条件 要求 会判断函数的连续性 可导性 解析函数和调和函数 五 作业 2 4 7a d2 4 9b2 4 13 cf2 5 52 5 9d2 5 10di 它们之间的关系 22 习题订正2 4 8 23 2 4 9b若函数f z 在区域D内解析 且满足在D内为常数 则f z 在D内必为常数