2010届高三数学三角函数的图象与性质.ppt

1 掌握三角函数的图象及其变换 2 灵活掌握三角函数的最值 单调性 奇偶性 周期性 3 理解三角函数的图象的对称性 轴对称 中心对称 4 会求三角函数的单调区间 并能利用单调性求三角函数的最值 学案10三角函数的图象与性质 1 2009 安徽 已知函数 0 y f x 的图象与直线y 2的两个相邻交点的距离等于 则f x 的单调递增区间是 解析因为函 数y f x 的图象与y 2的两个相邻交点的距离为 故函数y f x 的周期为 所以答案C 2 2009 全国 如果函数y 3cos 2x 的图象关于点中心对称 那么的最小值为 A B C D 解析由y 3cos 2x 的图象关于点中心对称知 A 3 2009 四川 已知函数f x sin x x R 下面结论错误的是 A 函数f x 的最小正周期为B 函数f x 在区间上是增函数C 函数f x 的图象关于直线x 0对称D 函数f x 是奇函数解析 y sin x cosx T A正确 y cosx在上是减函数 y cosx在上是增函数 B正确 由图象知y cosx关于直线x 0对称 C正确 y cosx是偶函数 D错误 D 4 2009 山东 将函数y sin2x的图象向左平移个单位 再向上平移1个单位 所得图象的函数解析式是 A y cos2xB y 2cos2xC y 1 sin 2x D y 2sin2x解析将函数y sin2x的图象向左平移个单位 得到函数y sin2 x 即y sin 2x cos2x的图象 再向上平移1个单位 所得图象的函数解析式为y 1 cos2x 2cos2x 故选B B 题型一三角函数图象及其变换 例1 已知函数为偶函数 且函数y f x 图象的两相邻对称轴间的距离为 1 求的值 2 将函数y f x 的图象向右平移个单位后 再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍 纵坐标不变 得到函数y g x 的图象 求g x 的单调递减区间 解因为f x 为偶函数 所以对x R f x f x 恒成立 因为 0 且x R 所以 2 将f x 的图象向右平移个单位后 得到的图象 再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍 纵坐标不变 得到的图象 k R 即 k Z 时 g x 单调递减 因此g x 的单调递减区间为 k Z 探究拓展 在用图象变换作图时 提倡先平移后伸缩 但先伸缩后平移也经常出现在考题中 因此必须熟练掌握 切记 无论怎样变换 都是对变量 x 而言 即图象变换要看 变量 有多大变化 而不是 角 变化多少 变式训练1已知函数 1 求函数f x 的最小正周期及最值 2 令g x f x 判断函数g x 的奇偶性 并说明理由 解 f x 的最小正周期当时 f x 取得最小值 2 当时 f x 取得最大值2 2 由 1 知 f x 2sin 函数g x 是偶函数 题型二三角函数图象及解析式 例2 已知函数x R的最大值是1 其图象经过点 1 求f x 的解析式 2 已知解 1 依题意有A 1 则将点代入得 探究拓展 确定三角函数的解析式时 往往利用待定系数法 根据条件求得的值 进而确定所求三角函数的解析式 变式训练2已知函数g x cosx f sinx sinx f cosx 1 将函数g x 化简成的形式 2 求函数g x 的值域 解 cosx cosx sinx sinx 题型三三角函数图象的对称性 例3 2009 重庆 设函数 1 求f x 的最小正周期 2 若函数y g x 与y f x 的图象关于直线x 1对称 求当时 y g x 的最大值 解故f x 的最小正周期为 2 在y g x 的图象上任取一点 x g x 它关于x 1的对称点为 2 x g x 由题设条件 点 2 x g x 在y f x 的图象上 从而g x f 2 x 探究拓展 对于正弦函数或余弦函数来说 以下性质在解题中起着重要的作用 函数在其对称轴上取到最大 最小 值 相邻两条对称轴之间的距离是半个周期 图象与x轴的交点是其对称中心 相邻两对称中心之间的距离是半个周期 变式训练3函数的图象为C 如下结论中正确的是 写出所有正确结论的编号 图象C关于直线对称 图象C关于点对称 函数f x 在区间内是增函数 由y 3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C 解析 为对称轴 为f x 的图象的对称中心 由于函数y 3sinx在内单调递增 故函数f x 在内单调递增 由y 3sin2x的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 得不到图象C 答案 题型四三角函数图象与性质的综合应用 例4 已知函数试求 1 函数f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 2 函数f x 在区间上的值域 解 1 cos2x sin2x sinx cosx sinx cosx cos2x sin2x sin2x cos2x cos2x sin2x cos2x k Z k Z 函数图象的对称轴方程为 k Z 探究拓展 求三角函数的值域通常利用三角函数的单调性求解 对形如y asinx bcosx的三角函数 可通过引入辅助角化为的形式 则 k Z k Z 也可借助三角函数的单调性求解 变式训练4已知 a R 1 若x R 求f x 的单调递增区间 2 若x 0 时 f x 的最大值为4 求实数a的值 解 k Z f x 的单调递增区间是 k Z 当x 时 f x 取得最大值a 3 则由条件有a 3 4 得a 1 考题再现 2009 陕西 已知函数x R 其中A 0 的周期为 且图象上一个最低点为 1 求f x 的解析式 2 当x 时 求f x 的最值 解题示范 1 由最低点为得A 2 2分由 3分 k Z 5分8分 当即x 0时 f x 取得最小值1 10分当即时 f x 取得最大值12分 1 在解答三角函数y sinx变换为的图象时 平移变换一定要弄清楚平移的方向和长度单位 向左 右 平移个单位 横向拉长 压缩 为原来的倍 再纵向拉伸 压缩 为原来的 A 倍 向上 下 平移 m 个单位 牢记 左加右减 上加下减 2 三角函数的图象关于直线x xk对称 其中 k Z 关于点 xi 0 对称 其中 k Z 3 在解答三角函数的最值 单调性 奇偶性 周期性 的问题时 通常是将三角函数化为只含一个函数名称且角度唯一 最高次数为一次的形式 即若给定区间x a b 上 则最大 小 值 单调区间随之确定 若定义域关于原点对称 且是奇函数 若定义域关于原点对称 且是偶函数 其周期为 一 选择题1 2009 湖南 将函数y sinx的图象向左平移个单位后 得到函数的图象 则等于 A B C D 解析由图象平移的性质易得 D 2 2009 天津 已知函数 x R 的最小正周期为 为了得到函数的图象 只要将y f x 的图象 A 向左平移个单位长度B 向右平移个单位长度C 向左平移个单位长度D 向右平移个单位长度解析由题意可知 A 3 2009 浙江 已知a是实数 则函数f x 1 asinax的图象不可能是 解析因为三角函数的周期为 a 1 而D不符合要求 它的振幅大于1 但周期反而大于了 D 4 将函数的图象F按向量平移得到图象F 若F 的一条对称轴是直线的一个可能取值是 A B C D 解析将函数的图象按向量平移得到的图象的解析式为由是一条对称轴得 k Z 当k 1时 A 5 已知函数在区间上的最小值是 2 则的最小值等于 A B C 2D 3解析函数在区间上的最小值是 2 则的取值范围是 的最小值等于 B 6 已知函数f x asinx bcosx a b为常数 a 0 x R 在处取得最小值 则函数是 A 偶函数且它的图象关于点对称B 偶函数且它的图象关于点对称C 奇函数且它的图象关于点对称D 奇函数且它的图象关于点对称解析函数f x asinx bcosx a b为常数 a 0 x R f x 若函数在处取得最小值 二 填空题7 2009 江苏 函数在闭区间上的图象如图所示 则解析由图象可知 3 8 已知x y是实数且满足sinx cosy 1 则cos x y 解析 sinx cosy 1 sinx cosy 1或sinx cosy 1 k Z k Z 于是cos x y 0 0 9 已知函数的最大值为3 f x 的图象在y轴上的截距为2 且相邻两对称轴间的距离为1 则f 1 f 2 f 2010 解析从而f 1 f 2 f 2010 2 2010 4020 4020 10 已知且f x 在区间上有最小值 无最大值 则解析如图所示 又f x 在区间内只有最小值 无最大值 f x 在处取得最小值 k Z k Z 答案 三 解答题11 已知函数 1 若求的值 2 在 1 的条件下 若函数f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 求函数f x 的解析式 并求最小正实数m 使得函数f x 的图象向左平移m个单位长度后所对应的函数是偶函数 解 12 如图所示 函数的图象与y轴交于点 0 且在该点处切线的斜率为 2 1 求的值 2 已知点A 0 点P是该函数图象上一点 点Q x0 y0 是PA的中点 当y0 时 求x0的值 解 1 将x 0 y 代入函数 返回