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1.3.2奇偶性课后篇巩固提升基础巩固1.下列函数是奇函数的是()A.y=x(x-1)x-1B.y=-3x2C.y=-|x|D.y=x3-35x解析先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域为(-,1)(1,+),不关于原点对称,所以排除A;选项B,C中函数的定义域均是R,且函数均是偶函数;选项D中函数的定义域是R,且f(-x)=-f(x),则此函数是奇函数.答案D2.已知函数g(x)=f(x)-x,其中y=g(x)是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=()A.-1B.1C.-3D.3解析g(x)=f(x)-x,f(2)=1,g(2)=f(2)-2=1-2=-1.y=g(x)是偶函数,g(-2)=f(-2)+2=-1,f(-2)=-3.故选C.答案C3.已知f(x)为偶函数,且当x0时,f(x)2,则当x0时,有()A.f(x)2B.f(x)2C.f(x)-2D.f(x)R解析可画出满足题意的一个f(x)的大致图象如图所示,由图易知当x0时,有f(x)2.故选B.答案B4.已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+)B.f(x)是偶函数,递增区间是(-,1)C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)D.f(x)是奇函数,递增区间是(-,0)解析由函数f(x)=x|x|-2x可得,函数的定义域为R,且f(-x)=-x|-x|-2(-x)=-x|x|+2x=-f(x),故函数为奇函数,函数f(x)=x|x|-2x=x2-2x,x0,-x2-2x,x0时,f(x)=-x(1+x),当x0时,f(x)等于()A.-x(1-x)B.x(1-x)C.-x(1+x)D.x(1+x)解析当x0,则f(-x)=x(1-x).又f(x)是R上的奇函数,所以当x0时,f(x)=-f(-x)=-x(1-x).故选A.答案A6.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是()A.f(x)+|g(x)|是偶函数B.f(x)-|g(x)|是奇函数C.|f(x)|+g(x)是偶函数D.|f(x)|-g(x)是奇函数解析由f(x)是偶函数,可得f(-x)=f(x),由g(x)是奇函数可得g(-x)=-g(x),故|g(x)|为偶函数,f(x)+|g(x)|为偶函数.答案A7.若函数f(x)=(x+1)(x+a)x为奇函数,则a=.解析f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x),即(-x+1)(-x+a)-x=-(x+1)(x+a)x,显然x0,整理得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a,故a+1=0,解得a=-1.答案-18.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=.解析令h(x)=x5+ax3+bx,易知h(x)为奇函数.因为f(x)=h(x)-8,h(x)=f(x)+8,所以h(-2)=f(-2)+8=18.h(2)=-h(-2)=-18,所以f(2)=h(2)-8=-18-8=-26.答案-269.已知奇函数f(x)的定义域为-5,5,且在区间0,5上的图象如图所示.(1)画出在区间-5,0上的图象.(2)写出使f(x)0的x的取值集合.解(1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在-5,5上的图象关于原点对称.由y=f(x)在0,5上的图象,可知它在-5,0上的图象,如图所示.(2)由图象知,使函数值f(x)0的x的取值集合为(-2,0)(2,5).10.已知f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=x2+3x+2.若当x1,3时,f(x)的最大值为m,最小值为n,求m-n的值.解当x0时,-x0时,f(x)=-f(-x)=3x-x2-2.当x1,32时,f(x)是增函数;当x32,3时,f(x)是减函数.因此当x1,3时,f(x)max=f32=14,f(x)min=f(3)=-2.m=14,n=-2,从而m-n=94.能力提升1.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是()A.1B.2C.3D.4解析f(-x)=(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12),f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12),由f(-x)=f(x),得m-2=0,即m=2.答案B2.设f(x)是奇函数,对任意的实数x,y,有f(x+y)=f(x)+f(y),当x0时,f(x)0,则f(x)在区间a,b上()A.有最大值f(a)B.有最小值f(a)C.有最大值fa+b2D.有最小值fa+b2解析任取x10.当x0时,f(x)0,f(x2-x1)0,即f(x2)+f(-x1)0.f(x)是奇函数,f(x2)-f(x1)0,f(x2)f(x1),f(x)在R上是减函数.f(x)在区间a,b上有最大值f(a),最小值f(b).故选A.答案A3.已知定义在R上的函数f(x)在(-,-2)上是减函数,若g(x)=f(x-2)是奇函数,且g(2)=0,则不等式xf(x)0的解集是()A.(-,-4-2,+)B.-4,-20,+)C.(-,-22,+)D.(-,-40,+)解析g(x)=f(x-2)的图象是将函数f(x)的图象向右平移2个单位得到的,又g(x)=f(x-2)的图象关于原点对称,所以函数f(x)的图象关于点(-2,0)对称,大致图象如图所示,且f(0)=g(2)=0,f(-4)=g(-2)=-g(2)=0,f(-2)=g(0)=0,结合函数的图象,由xf(x)0可知x0,f(x)0或x0,f(x)0.结合图象可知x0或-2x0,0,x=0,-x2-2x-3,x0时,-x0,f(-x)=-(-x)2-2(-x)-3=-(x2-2x+3)=-f(x);当x0,f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=-(-x2-2x-3)=-f(x).由可知,当xR时,都有f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数.8.已知f(x)为定义在R上的偶函数,当x-1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(-2,0),在y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线.(1)试求出f(x)的表达式;(2)求出f(x)的值域.解(1)f(x)的图象经过点(-2,0),0=-2+b,即b=2.当x-1时,f(x)=x+2.f(x)为偶函数,当x1时,f(x)=f(-x)=-x+2.当-1x1时,依题意设f(x)=ax2+2(a0),则1=a(-1)2+2,a=-1.当-1x1时,f(x)=-x2+2.综上,f(x)=x+2,x-1,-x2+2,-1x1,-x+2,x1.(2)当x-1时,f(x)=x+2(-,1;当-1x1时,f(x)=-x2+2(1,2;当x1时,f(x)=-x+2(-,1.综上所述,f(x)(-,2.9.已知函数f(x)=x+ab+x2是定义在(-1,1)上的奇函数,且f12=25.(1)用定义证明:f(x)在(-1,1)上是增函数;(2)若实数m满足f(m-1)+f(1-2m)0,求m的取值范围.(1)证明函数f(x)=x+ab+x2是定义在(-1,1)上的奇函数,f(0)=0,ab=0,a=0.f12=25,b=1,f(x)=x1+x2.设x1,x2是(-1,1)上任意两个实数,且-1x1x20,1-x1x20,(x2-x1)(1-x1x2)(1+x22)(1+x12)0,f(x2)f(x1),f(x)在(-1,1)上单调递增.(2)解f(x)=x1+x2是(-1,1)上的奇函数且单调递增,f(m-1)+f(1-2m)0,f(m-1)f(2m-1).-1m-11,-12m-11,m-12m-1,综上得0m1.
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