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八不等式选讲(B)1.(2018呼伦贝尔一模)已知a0,b0,且a+b=1.(1)若abm恒成立,求m的取值范围;(2)若4a+1b|2x-1|-|x+2|恒成立,求x的取值范围.2.(2018永州模拟)已知x0R使得关于x的不等式|x-1|-|x-2|t成立.(1)求满足条件的实数t的集合T;(2)若m1,n1,且对于tT,不等式log3mlog3nt恒成立,试求m+n的最 小值.3.(2018葫芦岛二模)已知函数f(x)=|x+1|+|2x-1|.(1)若f(x)1m+1n(m0,n0)对任意xR恒成立,求m+n的最小值;(2)若f(x)ax-2+a恒成立,求实数a的取值范围.4.(2018南平质检)已知函数f(x)=|x-1|+|x-3|.(1)解不等式f(x)x+1;(2)设函数f(x)的最小值为c,已知实数a,b满足a0,b0,a+b=c,求证:a2a+1+ b2b+11.1.解:(1)因为a0,b0,且a+b=1,所以ab(a+b2)2=14,当且仅当a=b=12时“=”成立,由abm恒成立,故m14.(2)因为a,b(0,+),a+b=1,所以4a+1b=(4a+1b)(a+b)=5+4ba+ab5+24baab=9,当且仅当a=2b时取等号,故若4a+1b|2x-1|-|x+2|恒成立,则|2x-1|-|x+2|9,当x-2时,不等式化为1-2x+x+29,解得-6x-2,当-2x12,不等式化为1-2x-x-29,解得-2x1,n1,所以log3m0,log3n0.又1log3mlog3n(log3m+log3n2)2=(log3mn)24(log3m=log3n时,取等号,此时m=n),所以(log3mn)24,所以log3mn2,mn9,所以m+n2mn6,即m+n的最小值为6(此时m=n=3).3.解:(1)由题意可知,f(x)=-3x,x-1,-x+2,-1x0,n0,解得m+n83,当且仅当m=n时等号成立,故m+n的最小值为83.(2)令g(x)=ax-2+a=a(x+1)-2,其为过定点(-1,-2)的斜率为a的直线,则f(x)g(x)表示函数y=f(x)恒在函数y=g(x)图象的上方,由图象可知-3a73.4.(1)解:f(x)x+1,即|x-1|+|x-3|x+1.当x1时,不等式可化为4-2xx+1,x1.又因为x3时,不等式可化为2x-4x+1,x5.又因为x3,所以3x5.综上可得,1x3,或31,n1,a=m-1,b=n-1,m+n=4,a2a+1+b2b+1=(m-1)2m+(n-1)2n=m+n+1m+1n-4=4mn4(m+n2)2=1,原不等式得证.
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