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专题24平面向量的概念及运算本专题特别注意：1.向量加减的几何意义2. 向量共线的问题3. 零向量问题4.向量夹角为锐角和钝角问题 5.基本定理的两条路径法表示向量6.向量共线与三点共线的区别与联系7.向量的模与夹角的运算及应用问题8.平行与垂直问题【学习目标】1理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；理解向量的几何表示2掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义3掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义4了解向量线性运算的性质及其几何意义【方法总结】1.向量线性运算技巧(1)用已知向量表示与其相关的另外一些向量时，在运用向量的加法、减法、数乘运算的同时，应充分利用平面几何的一些基本定理.(2)在求向量时尽可能转化到某平行四边形或三角形内，以便运用平行四边形法则和三角形法则，涉及到线段比时，一方面考虑平行线定理，另一方面充分运用数乘运算的几何意义.2.向量共线问题(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.高考模拟：一、单选题1已知平面向量，则（ ）A. B. 2 C. D. 3【答案】C点睛：该题考查的是有关向量的模的问题，在解题的过程中，需要应用向量的数乘以及减法运算公式，求得对应向量的坐标，之后应用模的坐标运算式求得结果.2设为向量，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：“”可得，由“”可得向量夹角为或，利用充分不必要的定义可得结果.详解：由，得，即或， 由，得向量与同向或反向，或，“”是“”的充分必要条件，故选C.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3已知向量，且，则（ ）A. B. C. D. 5【答案】B【解析】分析：首先应用向量共线时坐标所满足的关系，求得，从而可以求得，之后应用向量的模的坐标公式求得结果.详解：根据题意可得，可得，所以，从而可求得，故选B.点睛：该题考查的是有关向量模的求解问题，在解题的过程中，需要利用向量共线坐标所满足的条件，求得相关的参数的值，之后应用向量加法运费法则求得和向量的坐标，接着应用向量的模的坐标公式求得结果.4已知四个命题：如果向量与共线，则或；是的必要不充分条件；命题： ， 的否定： ， ；“指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”此三段论大前提错误，但推理形式是正确的.以上命题正确的个数为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D【解析】错，如果向量与共线，则 ；是的必要不充分条件；正确，由可以得到，但由不能得到，如 ；命题： ， 的否定： ， ；正确“指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”此三段论大前提错误，但推理形式是正确的.，正确.故选D.5两个单位向量，的夹角为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D6已知，是两个单位向量，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设则，所以当且仅当时，取到最大值5. ,所以的最大值为, 故选A.点睛：本题的难点在于解题思路的找寻，对于这个最值，一般利用函数的思想，先建立的三角函数，进而研究函数的最值.7若向量、满足、，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C考点：平面向量的数量积、模、夹角.8已知向量，满足，若且（，），则的最小值为（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】D【解析】 ，当且仅当时，点睛：本题考查向量的基本运算，向量模的求法，基本不等式的应用，考查计算能力解题时二次函数的配方是解题的关键9已知是互相垂直的两个单位向量，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】 本题选择B选项.10设平面向量满足，且，则的最大值为（ ）A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C点睛：由于向量，且，因此向量确定，这是解题的基础也是关键然后在此基础上根据向量模的三角不等式可得的范围，解题时要注意等号成立的条件11四边形中， ，且，则四边形是（ ）A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形【答案】C【解析】由于，故四边形是平行四边形，根据向量加法和减法的几何意义可知，该平行四边形的对角线相等，故为矩形.12下列命题正确个数为的是（ ） 对于任意向量、，若， ，则 若向量与同向，且，则 向量与是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 0个【答案】D【解析】 对于，若，则不能得出，错；对于，向量不能比较大小，所以错；对于， 表示与共线的向量， 表示与共线的向量，所以与不一定相等，错；对于， 与是共线向量，等价于，A、B、C、D四点不一定共线，所以错，正确个数为0个，选D.点睛：本题主要考查向量中的有关概念，属于易错题。解答本题的关键是熟练掌握向量中的相关概念、性质等。13如图，以为直径在正方形内部作半圆， 为半圆上与不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（ ）A. 无最大值，但有最小值B. 既有最大值，又有最小值C. 有最大值，但无最小值D. 既无最大值，又无最小值【答案】A【解析】设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，则D（-1，2），P（cos，sin），（其中0） cos（-1，1），（4，16）.故选D.点睛：本题考查了向量的加法及向量模的计算，利用建系的方法，引入三角函数来解决使得思路清晰，计算简便，遇见正方形，圆，等边三角形，直角三角形等特殊图形常用建系的方法.14下列命题正确的是( )A. 与,与共线，则与也共线B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C. 向量与不共线，则与都是非零向量D. 有相同起点的两个非零向量不平行【答案】C【解析】当为零向量时，A不成立；两个相等的非零向量的始点与终点可以在同一直线上，B不成立；有相同起点的两个非零向量，若它们终点与起点共线则它们平行，D不成立；若与零向量，则向量与共线，所以C正确，选C.15已知向量与的夹角为， ， ， ， ， 在时取最小值，当时， 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则由题意有： ，由向量关系可得： ，则： ，整理可得： ，满足题意时： ，据此可得三角不等式： ，解得： ，即 的取值范围是 .本题选择D选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用16下列命题中： 存在唯一的实数，使得；为单位向量，且，则； ；与共线，与共线，则与共线； 若正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：逐一分析判断即得正确答案.点睛：（1）本题主要考查平面向量的基本概念和性质定理，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和辨别能力. (2)本题的几个命题是典型的易错题，要理解掌握.如： 存在唯一的实数，使得；与共线，与共线，则与共线；若.17给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.（为实数），则必为零.为实数，若，则与共线.其中正确的命题的个数为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】因为两个向量终点相同，起点若不在一条直线上，则也不共线，命题错误；由于两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，因此命题是正确的；若（为实数），则也可以零，因此命题也是错误的；若为0，尽管有，则与也不一定共线，即命题也是错误的，应选答案A。18对于非零向量，下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则在上的投影为C. 若，则 D. 若，则 【答案】C【解析】A.：若， 时，不一定有，故A错误B： 可得在上的投影为或，故B错误；C：由，可得从而有 ，故C正确D：由不一定成立，故D错误故选C19设都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立的是()A. B. / C. D. 【答案】D【解析】由得若,即,则向量共线且方向相反，因此当向量共线且方向相反时,能使成立，本题选择D选项.20在以下关于向量的命题中，不正确的是（ ）A. 若向量，向量 ，则B. 若四边形ABCD为菱形，则C. 点是ABC的重心，则D. ABC中， 和的夹角等于【答案】D【解析】ABC中， 和的夹角等于的补角，D的说法是错误的.本题选择D选项.二、填空题21已知向量，其中，且与共线，则当取最小值时，为_【答案】【解析】由向量共线的充要条件得则当且仅当时，取等号，此时，则22已知向量，若（为实数），则_.【答案】【解析】，则，即，解得23若，则_.【答案】【解析】如图所示，由可知点P是线段AB上靠近点A的三等分点，则结合题意可得： .24如图所示,已知,由射线和射线及线段构成如图所示的阴影区（不含边界）.（1）若为中点, _（用,表示）（2）已知下列四个向量:; ; .对于点,落在阴影区域内（不含边界）的点有_（把所有符合条件点都填上）【答案】 【解析】若为中点,则由向量的加法法则可得 ；设在阴影区域内，则射线与线段有公共点，记为 ，则存在实数，使得 且存在实数，使得 从而 且 又由于 ，故 对于中 ，解得 满足也满足，故满足条件对于 解得 ，满足也满足故满足条件，对于 解得，不满足，故不满足条件，对于 解得 ，不满足，故不满足条件，故答案为(1). (2). 25已知向量， ， ，则_.【答案】【解析】由,得,由，平方得，因为，所以，有，解得26已知， ， ，若向量满足，则的取值范围是_【答案】【解析】易知，由得，所以或，由此可得的取值范围是.27在平面直角坐标系中，已知为坐标原点， ， ， ，若动点 ，则的最大值为_.【答案】【解析】设动点，由题意得动点轨迹方程为则由其几何意义得表示圆上的点到的距离，故点睛：本题主要考查了平面向量的线性运算及其运用，综合了圆上点与定点之间的距离最大值，先给出动点的轨迹方程，再表示出向量的坐标结果，依据其几何意义计算求得结果，本题方法不唯一，还可以直接计算含有三角函数的最值28已知向量的夹角为，若，则 _。【答案】3【解析】由题意可得： ，整理可得： ，据此可得： .29已知， ，且，若点P满足，则的取值范围为_【答案】【解析】因为，由，得,故填30在锐角中，则_【答案】331如图，在中，为线段上的一点，且，则_，_.【答案】 【解析】由题意，结合图形，根据平面向量的运算法则，由，得，即，所以，.32若与为非零向量，且 时，则 必与或中之一的方向相同；若为单位向量，且，则 ；若与共线，与共线，则与必共线；若平面内有四个点，则必有.上述命题正确的有_.（填序号）【答案】【解析】由题意，命题中，若与模相等且方向相反时，不成立；命题中，若为零向量时，不成立；命题中，根据向量数量积，得；命题中，若为零向量时，不成立；命题中，根据向量的加减，由，得，即，所以，成立，故正确答案为.点睛：此题主要考查平面向量中的相等向量、共线向量、数量积、加减法则等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是平面向量的基础知识点.在此问题中，针对每个命题的条件与结论，逐一对照平面向量相关的知识，进行运算、判断，抓住零向量方向的特殊性，进行验证，从而问题可得解.33设 为单位向量，若为平面内的某个向量，则；若与平行，则；若与平行且，则.上述命题中，假命题个数是_【答案】 【解析】向量是既有大小又有方向的量， 与 模相同，但方向不一定相同，故为假命题；若与方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 ，故也是假命题，故答案为 34如图， 为线段的中点， ， ，设， ，试用， 表示， ， .【答案】， 【解析】【试题分析】依据题设条件运用向量的三角形法则进行求解：解：因为， ，所以.因为，所以，所以.35已知， ，则与向量共线的单位向量为_【答案】或【解析】由题意可得： 设所求向量为： ，由题意可得： ，求解方程组可得：与向量共线的单位向量为或.36如下图所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点M是线段OD的中点，设，则= （结果用表示）【答案】【解析】试题分析：由题可知，=；考点：向量的运算37已知，函数，那么下列四个命题中正确命题的序号是 .是周期函数，其最小正周期为；当时， 有最小值；是函数的一个单调递增区间；点是函数的一个对称中心.【答案】【解析】试题分析：函数的周期为， 为错误的；当时， 取得最小值，此时，即，当时， ， 为正确的；令 ，解得， 函数的增区间为，当时，函数的增区间为， 为正确的；令 ，解得， 函数的对称中心为，当时，得点是函数的一个对称中心， 为正确的；综上所述，是正确的命题.故答案为.考点：命题的真假；三角函数的性质.38（5分）（2011天津）已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=90，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为 【答案】5【解析】试题分析：根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），设P（0，b）（0ba），求出，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0ba）则=（2，b），=（1，ab），=（5，3a4b）=5故答案为5点评：此题是个基础题考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力39设是由一平面内的个向量组成的集合若，且的模不小于中除外的所有向量和的模则称是的极大向量.有下列命题：若中每个向量的方向都相同，则中必存在一个极大向量；给定平面内两个不共线向量，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得中的每个元素都是极大向量；若中的每个元素都是极大向量，且中无公共元素，则中的每一个元素也都是极大向量其中真命题的序号是_【答案】40如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，则以A，B，C，D，E，F这六个点中任意两点分别作为起点和终点的所有向量中，与向量方向相反的向量是_【答案】【解析】如图，在平行四边形中， 分别是的中点，则以 这六个点中任意两点分别作为起点和终点的所有向量中，与向量方向相反的向量是.即答案为.41如图，在平面斜坐标系中， ，斜坐标定义：如果（其中,分别是轴， 轴的单位向量），则叫做P的斜坐标.（1）已知P得斜坐标为，则_（2）在此坐标系内，已知，动点P满足，则P的轨迹方程是_【答案】 1 【解析】 由题意（1）因为， 所以（2）设，由得，所以，整理得. 点睛：本题给出了一个新情景，考查了学生运用新情景的能力，本题解答中只要明确试题的本质是向量的一个变形应用，即可得到求解，此类问题的解答中认真读题，读懂信息，转化为数学知识的运算是解答的关键.
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