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第一章立体几何初步检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若直线l不平行于平面,且l,则()A.内的所有直线与l异面B.内不存在与l平行的直线C.内存在唯一的直线与l平行D.内的直线与l都相交解析：依题意,直线l=A(如图),内的直线若经过点A,则与直线l相交;若不经过点A,则与直线l是异面直线,故选B.答案：B2某几何体的三视图如图,则该几何体的体积为()A.16+8B.8+8C.16+16D.8+16解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体.V半圆柱=12224=8,V长方体=422=16.所以所求体积为16+8.故选A.答案：A3某几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为()A.180B.200C.220D.240解析：由三视图知该几何体是底面为等腰梯形的直棱柱,如图,S上=210=20,S下=810=80,S前=S后=105=50,S左=S右=12(2+8)4=20,所以S表=S上+S下+S前+S后+S左+S右=240,故选D.答案：D4设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面()A.若m,n,则mnB.若m,m,则C.若mn,m,则nD.若m,则m解析：A选项中,直线m,n可能平行,也可能相交或异面;B选项中,与也可能相交,此时直线m平行于,的交线;D选项中,m也可能平行于.故选C.答案：C5如图,OAB是水平放置的OAB的直观图,则OAB的面积是()A.6B.32C.62D.12解析：OAB是直角三角形,其两条直角边的长分别是4和6,则其面积是12.答案：D6一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均是半径为2的圆,则这个几何体的体积是()A.323B.8C.163D.32解析：由三视图可知该几何体是将一个球切割而得到的几何体,切去的部分是球的,已知该球的半径为2,所以该几何体的体积V=344323=8,故选B.答案：B7平面截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面的距离为2,则此球的体积为()A.6B.43C.46D.63解析：设球O的半径为R,则R=12+(2)2=3,故V球=R3=43.答案：B8如图是一个多面体的三视图,则其表面积为()A.3B.32+6C.3+6D.3+4解析：由几何体的三视图可得,此几何体是平放的三棱柱,底面是正三角形,侧面是正方形,其表面积为S=3(2)2+234(2)2=6+3.故选C.答案：C9已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,则球O的半径为()A.3172B.210C.132D.310解析：过C点作AB的平行线,过B点作AC的平行线,交点为D,同理过C1作A1B1的平行线,过B1作A1C1的平行线,交点为D1,连接DD1,则ABCD-A1B1C1D1恰好成为球的一个内接长方体,故球的半径r=32+42+1222=132.故选C.答案：C10如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:BDAC;BAC是等边三角形;三棱锥D-ABC是正三棱锥;平面ADC平面ABC.其中正确的是()A.B.C.D.解析：由题意知,BD平面ADC,则BDAC,正确;因为AD为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD平面ACD,所以AB=AC=BC,所以BAC是等边三角形,正确;易知DA=DB=DC,又由知正确;由知错.故选B.答案：B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:若ab,bc,则ac;若ab,bc,则ac;若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;若a平面,b平面,则a,b一定是异面直线.上述命题中正确的命题是.(写出所有正确命题的序号)解析：由平行公理知正确;当ab,bc时,a与c可以相交、平行、异面,故错;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故错;a,b,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故错.答案：12已知圆锥的底面周长为6,体积为12,则该圆锥的侧面积为.解析：设圆锥的底面半径为R,高为h,由已知得2R=6,所以R=3.于是12=1332h,解得h=4,于是母线l=42+32=5,所以侧面积S=35=15.答案：1513如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1V2=.解析：由题意可知点F到面ABC的距离与点A1到面ABC的距离之比为12,SADESABC=14.因此V1V2=13AFSAED2AFSABC=124.答案：12414如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且ABCD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为.解析：作FO平面CED,则EOCD,FO与正方体的侧棱平行,所以平面EOF一定与正方体的左、右侧面平行,而与其他四个面相交.答案：415已知正四棱锥O-ABCD的体积为322,底面边长为3,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为.解析：如图所示,在正四棱锥O-ABCD中,VO-ABCD=S正方形ABCDOO1=(3)2OO1=322,OO1=322,AO1=62,在RtOO1A中,OA=OO12+AO12=3222+622=6,即R=6,S球=4R2=24.答案：24三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分8分)某几何体的三视图如图,其中俯视图的内外均为正方形,边长分别为2和4,几何体的高为3,求此几何体的表面积和体积.解由三视图可知该几何体是一个正四棱台.其上、下底面边长分别为2和4,又高为3,所以其斜高h=(2-1)2+32=10,于是其表面积S=12(8+16)10+22+42=20+1210;其体积V=13(22+24+42)3=28.17(本小题满分8分)如图,PA平面ABCD,ABCD是矩形,PA=AB=2,AD=3,点F是PB的中点,点E是边BC上的动点.(1)当点E为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由;(2)求证:无论点E在边BC的何处,都有PEAF. (1)解EF与平面PAC平行.理由如下:当E为BC的中点时,F为PB的中点,EFPC.EF平面PAC,PC平面PAC,EF平面PAC.(2)证明PA=AB,F为PB的中点,AFPB.PA平面ABCD,PABC.又BCAB,PAAB=A,BC平面PAB.又AF平面PAB,BCAF.又PBBC=B,AF平面PBC.无论点E在边BC的何处,都有PE平面PBC,PEAF.18(本小题满分9分)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,ABAD,CD=2AB,平面PAD平面ABCD,PAAD,E和F分别是CD和PC的中点.求证:(1)PA底面ABCD;(2)BE平面PAD;(3)平面BEF平面PCD.证明(1)因为平面PAD底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD,CD=2AB,E为CD的中点,所以ABDE,且AB=DE.所以ABED为平行四边形.所以BEAD.又因为BE平面PAD,AD平面PAD,所以BE平面PAD.(3)因为ABAD,而且ABED为平行四边形,所以BECD,ADCD.由(1)知PA底面ABCD,所以PACD.所以CD平面PAD.所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点,所以PDEF.所以CDEF.所以CD平面BEF.所以平面BEF平面PCD.19(本小题满分10分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.(1)证明:BC1平面A1CD;(2)设AA1=AC=CB=2,AB=22,求三棱锥C-A1DE的体积.(1)证明连接AC1交A1C于点F,则F为AC1的中点.由D是AB的中点,连接DF,则BC1DF.因为DF平面A1CD,BC1平面A1CD,所以BC1平面A1CD.(2)解因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1CD.由已知AC=CB,D为AB的中点,则CDAB.因为AA1AB=A,所以CD平面ABB1A1.由AA1=AC=CB=2,AB=22,得ACB=90,CD=2,A1D=6,DE=3,A1E=3,则A1D2+DE2=A1E2,即DEA1D.故VC-A1DE=1312632=1.20(本小题满分10分)如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为CD的中点,F为AE的中点.现在沿AE将三角形ADE向上折起,在折起的图形中解答下列两问:(1)在线段AB上是否存在一点K,使BC平面DFK?若存在,请证明你的结论;若不存在,请说明理由;(2)若平面ADE平面ABCE,求证:平面BDE平面ADE.(1)解线段AB上存在一点K,且当AK=14AB时,BC平面DFK.证明如下:设H为AB的中点,连接EH,则BCEH,又AK=14AB,F为AE的中点,KFEH,KFBC.KF平面DFK,BC平面DFK,BC平面DFK.(2)证明在折起前的图形中E为CD的中点,AB=2,BC=1,在折起后的图形中,AE=BE=2,从而AE2+BE2=4=AB2,AEBE.平面ADE平面ABCE,平面ADE平面ABCE=AE,BE平面ADE,BE平面BDE,平面BDE平面ADE.
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