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第5讲椭圆 考纲解读1.掌握两种求椭圆方程的方法：定义法、待定系数法，并能根据其标准方程及几何图形研究椭圆的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)(重点)2.掌握直线与椭圆位置关系的判断，并能求解直线与椭圆相关的综合问题(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲为高考的必考内容预测2020年将会考查：椭圆标准方程的求解；直线与椭圆位置关系的应用；求解与椭圆性质相关的问题试题以解答题的形式呈现，灵活多变、技巧强，具有一定的区分度，试题中等偏难.1椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距(2)集合语言：PM|MF1|MF2|，且2a|F1F2|，|F1F2|2c，其中ac0，且a，c为常数注：当2a|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2a0直线与椭圆相交；(2)0直线与椭圆相切；(3)b0)上任意一点P(x，y)，则当x0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当xa时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处(2)已知过焦点F1的弦AB，则ABF2的周长为4a.1概念辨析(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)方程mx2ny21(m0，n0且mn)表示的曲线是椭圆()(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(4)1(ab0)与1(ab0)的焦距相同()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)椭圆1的离心率是()A.BCD答案B解析由已知得a3，b2，所以c，离心率e.(2)直线yx2与椭圆1有两个公共点，则m的取值范围是()A(1，)B(1,3)(3，)C(3，)D(0,3)(3，)答案B解析把yx2代入1得3x2m(x2)23m，整理得(3m)x24mxm0，由题意得(4m)24m(3m)12m(m1)0且3m0，又因为m0且m3，所以m1且m3，所以m的取值范围是(1,3)(3，)(3)(2015全国卷)一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_答案2y2解析由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4,0)，(0,2)，(0，2)，设圆心为(a,0)，其中a0，由4a，解得a，所以该圆的标准方程为2y2.(4)已知动点P(x，y)的坐标满足16，则动点P的轨迹方程为_答案1解析由已知得点P到点A(0，7)和B(0,7)的距离之和为16，且16|AB|，所以点P的轨迹是以A(0，7)，B(0,7)为焦点，长轴长为16的椭圆显然a8，c7，故b2a2c215，所以动点P的轨迹方程为1.题型 椭圆的定义及应用1过椭圆y21的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则ABF2的周长为()A8B4C4D2答案A解析因为椭圆为y21，所以椭圆的半长轴a2，由椭圆的定义可得AF1AF22a4，且BF1BF22a4，ABF2的周长为ABAF2BF2(AF1AF2)(BF1BF2)4a8.2在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，1)，则|PA|PB|的最大值为()A5B4C3D2答案A解析如图，椭圆1，焦点坐标为B(0，1)和B(0,1)，连接PB，AB，根据椭圆的定义，得|PB|PB|2a4，可得|PB|4|PB|，因此|PA|PB|PA|(4|PB|)4(|PA|PB|)|PA|PB|AB|，|PA|PB|4|AB|415.当且仅当点P在AB的延长线上时，等号成立综上所述，可得|PA|PB|的最大值为5.3已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且F1PF260，SPF1F23，则b_.答案3解析设|PF1|t1，|PF2|t2，则由椭圆的定义可得t1t22a，在F1PF2中F1PF260，所以tt2t1t2cos604c2，由2得3t1t24a24c24b2，所以SF1PF2t1t2sin60b23，所以b3.利用定义求焦点三角形及最值的方法1设椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若ABF2的内切圆的面积为，则|y1y2|()A3B6C9D12答案A解析画出图形如图所示椭圆方程为1，a3，b，c2.又ABF2的内切圆的面积为，ABF2内切圆的半径r1，SABF2(|AB|BF2|AF2|)r4ar2ar6，又SABF2|y1y2|2c2|y1y2|，2|y1y2|6，|y1y2|3.2(2018安徽皖江模拟)已知F1，F2是长轴长为4的椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，P是椭圆上一点，则PF1F2面积的最大值为_答案2解析解法一：PF1F2的面积为|PF1|PF2|sinF1PF22a2.又2a4，a24，PF1F2面积的最大值为2.解法二：由题意可知2a4，解得a2.当P点到F1F2距离最大时，SPF1F2最大，此时P为短轴端点，SPF1F22cbbc.又a2b2c24，bc2，当bc时，PF1F2面积最大，为2.题型 椭圆的标准方程及应用1“2m6”是“方程1表示椭圆”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析方程1表示椭圆解得2m6且m4，所以“2m|AF|，即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，a1，c，b2.所以动点P的轨迹方程为x2y21.1定义法求椭圆的标准方程根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程其中常用的关系有：(1)b2a2c2；(2)椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；(3)椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于实半轴长a.2待定系数法求椭圆的标准方程的四步骤提醒：当椭圆的焦点位置不明确时，可设为1(m0，n0，mn)，也可设为Ax2By21(A0，B0，且AB)可简记为“先定型，再定量” 1与圆C1：(x3)2y21外切，且与圆C2：(x3)2y281内切的动圆圆心P的轨迹方程为_答案1解析设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|r1，|PC2|9r.所以|PC1|PC2|10|C1C2|，所以点P的轨迹是以C1(3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，点P的轨迹方程为1.2已知中心在坐标原点的椭圆过点A(3,0)，且离心率e，则椭圆的标准方程为_答案1或1解析若焦点在x轴上，由题知a3，因为椭圆的离心率e，c，b2，所以椭圆方程是1.若焦点在y轴上，则b3，a2c29，又离心率e，解得a2，所以椭圆方程是1.题型 椭圆的几何性质1已知椭圆C1：1，C2：1，则()AC1与C2顶点相同BC1与C2长轴长相同CC1与C2短轴长相同DC1与C2焦距相等答案D解析由两个椭圆的标准方程可知：C1的顶点坐标为(2，0)，(0，2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(4,0)，(0，2)，长轴长为8，短轴长为4，焦距为4.故选D.2(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A.BCD答案D解析依题意易知|PF2|F1F2|2c，且P在第一象限内，由F1F2P120可得P点的坐标为(2c，c)又因为kAP，即，所以a4c，e，故选D.条件探究将举例说明2中点P满足的条件改为“椭圆C上存在点P，使F1PF290”，求C的离心率的取值范围解解法一：椭圆上存在点P使F1PF290以原点O为圆心，以c为半径的圆与椭圆有公共点bc，如图，由bc，得a2c2c2，即a22c2，解得e，又0e1，故椭圆C的离心率的取值范围是.解法二：设P(x0，y0)为椭圆上一点，则1.(cx0，y0)，(cx0，y0)，若F1PF290，则xyc20.xb2c2，x.0xa2，01.b2c2，a22c2，eb0)的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上的一点，PFx轴，若|PF|AF|，则该椭圆的离心率是_答案解析根据椭圆几何性质可知|PF|，|AF|ac，所以(ac)，即4b23a23ac.又因为b2a2c2，所以有4(a2c2)3a23ac，整理可得4c23aca20，两边同除以a2，得4e23e10，所以(4e1)(e1)0，由于0eb0)的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，2.则椭圆C的离心率是_答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y10.直线l的方程为y(xc)，其中c.联立得(3a2b2)y22b2cy3b40.解得y1，y2.因为2，所以y12y2.即2.得离心率e.角度2弦长及弦中点问题2(1)斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A2BCD(2)直线yxm被椭圆2x2y22截得的线段的中点的横坐标为，则中点的纵坐标为_答案(1)C(2)解析(1)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，则x1x2t，x1x2.(8t)2454(t21)0，得t21Bm0C0m0且m5，综上知m的取值范围是m1且m5.4(2018全国卷)设椭圆C：y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：OMAOMB.解(1)由已知得F(1,0)，直线l的方程为x1.由已知可得，点A的坐标为或.所以直线AM的方程为yx或yx.(2)证明：当l与x轴重合时，OMAOMB0.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x20，n0，mn)的两个交点坐标分别为E(x1，y1)，F(x2，y2)(2)把直线方程与椭圆方程联立方程组，消元得到一个一元二次方程(3)利用根与系数的关系，得到x1x2与x1x2或y1y2与y1y2.(4)把与E，F有关要求的量(如弦长|EF|、直线与椭圆相关的图形面积等)用E，F的坐标表示出来，并变形为只含x1x2与x1x2(或y1y2与y1y2)的形式(5)将(3)中所得的含有参数的式子等量代入(4)中，得到含参数的代数式，经过其他运算得到化简结果4重要结论(1)椭圆中最短的焦点弦为通径，长度为.(2)设斜率为k(k0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|或|AB|y1y2|. 1已知椭圆4x2y21及直线yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程解(1)由得5x22mxm210，因为直线与椭圆有公共点，所以4m220(m21)0，解得m.(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知，5x22mxm210，所以x1x2，x1x2(m21)，所以|AB| .所以当m0时，|AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为yx.2(2018沈阳质检)已知P点坐标为(0，2)，点A，B分别为椭圆E：1(ab0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，ABP是等腰直角三角形，且.(1)求椭圆E的方程；(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围解(1)由ABP是等腰直角三角形，得a2，B(2,0)设Q(x0，y0)，则由，得代入椭圆方程得b21，所以椭圆E的方程为y21.(2)依题意得，直线l的斜率存在，方程设为ykx2.联立消去y并整理得(14k2)x216kx120.(*)因直线l与E有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，故(16k)248(14k2)0，解得k2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由根与系数的关系得因坐标原点O位于以MN为直径的圆外，所以0，即x1x2y1y20，又由x1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22)(1k2)x1x22k(x1x2)4(1k2)2k40，解得k24，综上可得k24，则k2或2kb0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A.BCD答案C解析由题意可设P(c，y0)(c为半焦距)，kOP，kAB，由于OPAB，y0，把P代入椭圆方程得1，即2，e.典例2(2018芜湖模拟)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(c,0)圆C：(xc)2y21上所有点都在椭圆E的内部，过椭圆上任一点M作圆C的两条切线，A，B为切点，若AMB，则椭圆C的离心率为()A2B32C.D1答案B解析圆C：(xc)2y21的圆心为右焦点F(c,0)，半径为1，(1)当M位于椭圆的右顶点(a,0)时，|MF|取得最小值ac，此时|MA|取得最小值，即有AMB，sin，可得ac，(2)当M位于椭圆的左顶点(a,0)，|MF|取得最大值ac.此时|MA|取得最大值，即有AMB，sin，可得ac2，由解得a1，c1，则e32.
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