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第2讲同角三角函数的基本关系及诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan.2.三角函数的诱导公式1.概念辨析(1)对任意，R，有sin2cos21.()(2)若R，则tan恒成立()(3)(sincos)212sincos.()(4)sin()sin成立的条件是为锐角()答案(1)(2)(3)(4)2.小题热身(1)若sin，则tan_.答案解析因为sin，所以cos，所以tan.(2)化简：_.答案cos解析原式cos.(3)sin2490_；cos_.答案解析sin2490sin(736030)sin30.coscoscoscos.(4)已知sin，则sin()_.答案解析因为sincos，所以sin，所以sin()sin.题型 同角三角函数关系式的应用 1.已知cos，0，则()A.2 B2 C D.答案C解析因为cos，0，所以sin，所以.2.已知tanx3，则_.答案2解析因为tanx3，所以2.3.sin21sin22sin23sin289_.答案44.5解析因为sin(90)cos，所以当90时，sin2sin2sin2cos21，设Ssin21sin22sin23sin289，则Ssin289sin288sin287sin21，两个式子相加得2S111189，S44.5.同角三角函数关系式的应用方法(1)利用sin2cos21可实现的正弦、余弦的互化，利用tan可以实现角的弦切互化(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论.1.已知ABC中，则cosA等于()A. B. C D答案D解析因为A是三角形内角，且0，所以cosA0，cos0，所以tan1.3.(2018绵阳诊断)已知2sin1cos，则tan的值为()A. B.C.或0 D.或0答案D解析因为2sin1cos，所以4sin212coscos2，又因为sin21cos2，所以4(1cos2)12coscos2，即5cos22cos30，解得cos1或cos.当cos1时，sin0，tan0，当cos时，sin，tan.题型 诱导公式的应用1.化简sin(1071)sin99sin(171)sin(261)的结果为()A.1 B1 C0 D2答案C解析原式(sin1071)sin99sin171sin261sin(33609)sin(909)sin(1809)sin(2709)sin9cos9sin9cos90.2.已知f()，则f的值为()A. B. C. D.答案A解析f()cos，fcoscoscos.3.已知cosa，则cossin的值是_答案0解析因为coscoscosa.sinsincosa，所以cossin0.条件探究1若举例说明3的条件“cosa”改为“sina”，求cos.解coscossina.条件探究2若举例说明3的条件“cosa”改为“cos(17)a”，求sin(107)解sin(107)sin(1790)cos(17)a.(1)诱导公式的两个应用方向与原则求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了(2)应用诱导公式的基本流程(3)巧用口诀：奇变偶不变，符号看象限(4)注意观察已知角与所求角的关系，如果两者之差或和为的整数倍，可考虑诱导公式，如举例说明3中，.1.(2019天一大联考)在平面直角坐标系xOy中，角的终边经过点P(3,4)，则sin()A. B C. D.答案B解析因为角的终边经过点P(3,4)所以cos.所以sinsinsinsincos.2.(2018石家庄模拟)已知kZ，化简：_.答案1解析当k为偶数时，原式1.当k为奇数时，原式1.综上知，原式1.题型 同角三角函数基本关系式和诱导公式的灵活应用 角度1化简与求值1.已知为锐角，且2tan()3cos50，tan()6sin()10，则sin的值是()A. B. C. D.答案C解析由已知可得2tan3sin50，tan6sin10，解得tan3，又为锐角，故sin.角度2sincos、sincos、sincos三者之间的关系2.(2018长沙模拟)已知x0，sin(x)cosx，则sinxcosx()A. B. C. D答案A解析因为sin(x)cosx，所以sinxcosx，所以sinxcosx(0,1)又因为x0，所以x0，所以sinxcosx0.sinxcosx，两边平方得12sinxcosx，所以2sinxcosx.所以(sinxcosx)212sinxcosx.所以sinxcosx.角度3常值代换问题3.(2016全国卷)若tan，则cos22sin2()A. B. C1 D.答案A解析当tan时，原式cos24sincos，故选A.同角三角函数基本关系在求值与化简时的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tanx进行切化弦或弦化切，如，asin2xbsinxcosxccos2x等类型可进行弦化切(2)和积转换法：对于sincos，sincos，sincos这三个式子，利用(sincos)212sincos可以知一求二(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)sin2tan.1.化简的结果是()A.sin3cos3 Bcos3sin3C.(sin3cos3) D以上都不对答案A解析因为sin(3)sin3，cos(3)cos3，所以原式|sin3cos3|.因为30，cos30，所以原式sin3cos3.2.已知tan100k，则sin80的值等于()A. BC. D答案B解析由已知得tan100ktan(18080)tan80，所以tan80k，又因为tan80，所以k2，注意到k0，可解得sin80 .3.若sinx2sin，则cosxcos()A. B C. D答案B解析由sinx2sin，得sinx2cosx，即tanx2，则cosxcoscosxsinx.
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