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第2讲不等式选讲考情考向分析本部分主要考查绝对值不等式的解法求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想热点一含绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)a.(2)|f(x)|0)af(x)0.(1)当a3时，求不等式f(x)5x1的解集；(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1，求a的值解(1)当a3时，不等式f(x)5x1即为|2x3|5x5x1，1，解得x2或x1.不等式的解集为x|x1或x2(2)由f(x)0，得5x0，解得或又a0，不等式的解集为，由题意得1，解得a3.思维升华(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤求零点；划区间、去绝对值符号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法跟踪演练1(2018河北省衡水金卷模拟)已知函数f(x)|2x1|x1|.(1)解不等式f(x)3；(2)若函数g(x)，若对于任意的x1R，都存在x2R，使得f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围解(1)依题意，得f(x)由f(x)3，得或或解得1x1.即不等式f(x)3的解集为.(2)由(1)知，f(x)minf，g(x)|a1|，则|a1|，解得a，即实数a的取值范围为.热点二绝对值不等式恒成立(存在)问题定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立例2(2018江西省景德镇市第一中学模拟)已知函数f(x)|x1|2x3|.(1)解不等式f(x)2x10；(2)若不等式f(x)m|x2|有解，求m的取值范围解(1)f(x)由f(x)a恒成立f(x)mina；f(x)a恒成立f(x)maxa有解f(x)maxa；f(x)a有解f(x)mina无解f(x)maxa；f(x)1，且当x时，都有f(x)g(x)，求k的取值范围解(1)当k3时，f(x)|3x1|3x3|故不等式f(x)4可化为或或解得x0或x，所求不等式的解集为.(2)当x时，由k1，得3x11，故1k，k的取值范围是.热点三不等式的证明1含有绝对值的不等式的性质|a|b|ab|a|b|.2算术几何平均不等式定理1：设a，bR，则a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立定理2：如果a，b为正数，那么，当且仅当ab时，等号成立定理3：如果a，b，c为正数，那么，当且仅当abc时，等号成立定理4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立例3(2018山东省名校联盟模拟)已知函数f(x)|2x1|x1|.(1)解不等式f(x)3；(2)若g(x)(xR)，求证：g(x)对aR，且a0恒成立(1)解依题意，得f(x)于是由f(x)3，得或或解得1x1，即不等式f(x)3的解集为x|1x1(2)证明因为，3，当且仅当0时取等号，所以33，即33.又因为当xR时，3，当且仅当0时，等号成立故g(x)min3.所以g(x)对aR，且a0恒成立思维升华(1)作差法是证明不等式的常用方法作差法证明不等式的一般步骤：作差；分解因式；与0比较；结论关键是代数式的变形能力(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧跟踪演练3(2018石家庄模拟)已知函数f(x)|3x1|3x1|，M为不等式f(x)|ab|.(1)解f(x)|3x1|3x1|6.当x时，f(x)3x13x16x，由6x1，1x；当x时，f(x)3x13x12，又2时，f(x)3x13x16x，由6x6，解得x1，x1.综上，f(x)6的解集Mx|1x1(2)证明2(ab)2a2b22ab1(a2b22ab)a2b2a2b21(a21)(b21)由a，bM，得|a|1，|b|1，a210，b210，|ab|.真题体验1(2017全国)已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求实数a的取值范围解(1)当a1时，不等式f(x)g(x)等价于x2x|x1|x1|40.当x1时，式化为x2x40，从而10，b0，a3b32，证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a4b42a2b2)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，(当且仅当ab时，等号成立)因此ab2.押题预测1已知函数f(x)|x2|2xa|，aR.(1)当a1时，解不等式f(x)4；(2)若x0，使f(x0)|x02|3成立，求a的取值范围押题依据不等式选讲问题中，联系绝对值，关联参数、体现不等式恒成立是考题的“亮点”所在，存在问题、恒成立问题是高考的热点，备受命题者青睐解(1)当a1时，f(x)|x2|2x1|.由f(x)4，得|x2|2x1|4.当x2时，不等式等价于x22x14，解得x，所以x2；当x2时，不等式等价于2x2x14，解得x1，所以1x2；当x时，不等式等价于2x2x14，解得x1，所以x1.所以原不等式的解集为x|x1或x1(2)应用绝对值不等式，可得f(x)|x2|2|x2|2xa|2x4|2xa|2xa(2x4)|a4|.(当且仅当(2x4)(2xa)0时等号成立)因为x0，使f(x0)|x02|3成立，所以(f(x)|x2|)min3，所以|a4|3，解得7a1，故实数a的取值范围为(7，1)2已知x，yR，xy4.(1)要使不等式|a2|a1|恒成立，求实数a的取值范围；(2)求证：x22y2，并指出等号成立的条件押题依据不等式选讲涉及绝对值不等式的解法，包含参数是命题的显著特点本题将二元函数最值、解绝对值不等式、不等式证明综合为一体，意在检测考生理解题意、分析问题、解决问题的能力，具有一定的训练价值解(1)因为x，yR，xy4，所以1.由基本不等式，得1，当且仅当xy2时取等号要使不等式|a2|a1|恒成立，只需不等式|a2|a1|1成立即可构造函数f(a)|a2|a1|，则等价于解不等式f(a)1.因为f(a)所以解不等式f(a)1，得a0.所以实数a的取值范围为(，0(2)因为x，yR，xy4，所以y4x(0x1，若x(1,1)，使f(x)x2mx3成立，求m的取值范围解(1)f(x)|x1|，由f(x)2，得2，m12或m12，m的取值范围是m|m1或m3(2)m1，当x(1,1)时，f(x)m1，不等式f(x)x2mx3，即m1x2mx3，m(1x)x22，即m.令g(x)(1x)2.01x0；(2)若关于x的不等式f(x)2a25a的解集为R，求实数a的取值范围解(1)不等式f(x)x0可化为|x1|x|x2|，当x(x2)，解得x3，即3x2；当2xx2，解得x1，即2xx2，解得x3，即x3.综上所述，不等式f(x)x0的解集为x|3x3(2)由不等式f(x)2a25a，可得|x1|x2|2a25a.|x1|x2|3，2a25a3，即2a25a30，解得a或a3.实数a的取值范围是3，)5(2018辽宁省部分重点中学协作体模拟)已知函数f(x)(a0)(1)当a2时，求不等式f(x)3的解集；(2)证明：f(m)f4.(1)解当a2时，f(x)|x2|，原不等式等价于或或解得x.所以不等式的解集为.(2)证明f(m)f|ma|224(当且仅当m1且a1时等号成立)B组能力提高6(2018榆林模拟)已知函数f(x)|3x1|2x1|a.(1)求不等式f(x)a的解集；(2)若恰好存在4个不同的整数n，使得f(n)a，得|3x1|2x1|，不等式两边同时平方，得9x26x14x24x1，即5x210x，解得x2.所以不等式f(x)a的解集为(，0)(2，)(2)设g(x)|3x1|2x1|作出函数g(x)的图象，如图所示，因为g(0)g(2)0，g(3)g(4)2g(1)3，又恰好存在4个不同的整数n，使得f(n)2|x|；(2)若f(x)a22b23c2对任意xR恒成立，求证：ac2bc.(1)解由f(x)2|x|，得x2|x2|2|x|，即或或解得x2或0x2或x2|x|的解集为(，1)(2，)(2)证明当x2时，f(x)x2x222224；当x2时，f(x)x2x22，所以f(x)的最小值为.因为f(x)a22b23c2对任意xR恒成立，所以a22b23c2，又a22b23c2a2c22(b2c2)2ac4bc，所以ac2bc.(当且仅当abc时，等号成立)8设函数f(x)|x|x|.(1)当a1时，解不等式f(x)；(2)若对任意a0,1，不等式f(x)b的解集不为空集，求实数b的取值范围解(1)当a1时，不等式f(x)等价于|x1|x|.当x1时，不等式化为x1x，无解；当1x0时，不等式化为x1x，解得x0；当x0时，不等式化为x1x，解得x0.综上所述，不等式f(x)的解集为.(2)不等式f(x)b的解集不为空集，bf(x)max，a0,1，f(x)|x|x|xx|，f(x)max.对任意a0,1，不等式f(x)b的解集不为空集，bmin，令g(a)，g2(a)121212.当a时，g(a)单调递增，当a时，g(a)单调递减，当且仅当a0或a1时，g(a)min1，b的取值范围为(，1
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