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课时作业53抛物线 基础达标一、选择题1若抛物线y22px(p0)上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为()Ay24xBy26xCy28x Dy210x解析：因为抛物线y22px，所以准线为x.因为点P(2，y0)到其准线的距离为4，所以4，所以p4，所以抛物线的标准方程为y28x.答案：C22019广东珠海模拟已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PAl，垂足为A，|PF|4，则直线AF的倾斜角等于()A. B.C. D.解析：由抛物线y24x知焦点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x1，由抛物线定义可知|PA|PF|4，所以点P的坐标为(3,2)，因此点A的坐标为(1,2)，所以kAF，所以直线AF的倾斜角等于，故选B.答案：B32019福州质量检测在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l.过F的直线交C于A，B两点，交l于点E，直线AO交l于点D.若|BE|2|BF|，且|AF|3，则|BD|()A1 B3C3或9 D1或9解析：分别过点A，B作AA1，BB1垂直于l，且垂足分别为A1，B1，依题意，易证BDx轴，所以D与B1重合由已知条件|BE|2|BF|得，|BE|2|BB1|，所以BEB130.又|AA1|AF|3，如图1，所以，解得|BD|1，如图2，所以，解得|BD|9.综上，|BD|为1或9，故选D.答案：D42019河南百校联盟已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MO|MF|(O为坐标原点)，则()A B.C. D解析：不妨设M(m，)(m0)，易知抛物线C的焦点F的坐标为，因为|MO|MF|，所以解得m，p2，所以，所以2.故选A.答案：A52019湖南岳阳模拟若直线y2x与抛物线x22py(p0)相交于A，B两点，则|AB|等于()A5p B10pC11p D12p解析：将直线方程代入抛物线方程，可得x24pxp20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24p，y1y29p，直线过抛物线的焦点，|AB|y1y2p10p，故选B.答案：B二、填空题62019长沙模拟已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(3,0)，P1，P2，P2017是抛物线C上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x2 017，若x1x2x2 0172 017，则|P1F|P2F|P2 017F|_.解析：因为抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(3,0)，所以抛物线C的方程为y212x，其准线方程为x3.由抛物线的定义可得|PiF|xi3(i1,2，2 017)，所以|P1F|P2F|P2 017F|(x13)(x23)(x2 0173)x1x2x2 01732 0178 068.答案：8 06872019宝安，潮阳，桂城八校联考过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|3，则|BF|_.解析：解法一由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，|AF|3，由抛物线的定义知，点A到准线x1的距离为3，所以点A的横坐标为2.如图，不妨设点A在第一象限，将x2代入y24x，得y28，所以点A的纵坐标为2，即A(2,2)，所以直线AF的方程为y2(x1)由解得或所以点B的横坐标为，所以|BF|.解法二如图，不妨设点A在第一象限，设AFx，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则由抛物线的定义知xA123cos3，解得cos.又|BF|xB11|BF|cos12|BF|，所以|BF|.答案：82019合肥质量检测抛物线E：y24x的焦点为F，准线l与x轴交于点A，过抛物线E上一点P(在第一象限内)作l的垂直PQ，垂足为Q.若四边形AFPQ的周长为16，则点P的坐标为_解析：设P(x，y)，其中x0，y0，由抛物线的定义知|PF|PQ|x1.根据题意知|AF|2，|QA|y，则或(舍去)所以点P的坐标为(4,4)答案：(4,4)三、解答题9抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为，求抛物线与双曲线的方程解析：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，p2c.设抛物线方程为y24cx，抛物线过点，64c.c1，故抛物线方程为y24x.又双曲线1过点，1.又a2b2c21，1.a2或a29(舍去)b2，故双曲线方程为1.102017全国卷设A，B为曲线C：y上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1，y2，x1x24，于是直线AB的斜率k1.(2)由y，得y.设M(x3，y3)，由题设知1，解得x32，于是M(2,1)设直线AB的方程为yxm，故线段AB的中点为N(2,2m)，|MN|m1|.将yxm代入y得x24x4m0.当16(m1)0，即m1时，x1,222.从而|AB|x1x2|4.由题设知|AB|2|MN|，即42(m1)，解得m7.所以直线AB的方程为yx7.能力挑战112019湖北四地七校联考已知抛物线y22px(p0)，点C(4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是()Ay24x By24xCy28x Dy28x解析：因为ABx轴，且AB过点F，所以AB是焦点弦，且|AB|2p，所以SCAB2p24，解得p4或12(舍)，所以抛物线方程为y28x，所以直线AB的方程为x2，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y28x，故选D.答案：D122018全国卷设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A5 B6C7 D8解析：由题意知直线MN的方程为y(x2)，联立直线与抛物线的方程，得解得或不妨设M为(1,2)，N为(4,4)又抛物线焦点为F(1,0)，(0,2)，(3,4)03248.故选D.答案：D132018全国卷已知点M(1,1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_.解析：解法一设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则yy4(x1x2)，k.设AB中点M(x0，y0)，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线x1的垂线，垂足为A，B，则|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)M(x0，y0)为AB中点，M为AB的中点，MM平行于x轴，y1y22，k2.解法二由题意知，抛物线的焦点坐标为F(1,0)，设直线方程为yk(x1)，直线方程与y24x联立，消去y，得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，x1x2.由M(1,1)，得(1x1,1y1)，(1x2,1y2)由AMB90，得0，(x11)(x21)(y11)(y21)0，x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)10.又y1y2k(x11)k(x21)k2x1x2(x1x2)1，y1y2k(x1x22)，11k2k10，整理得10，解得k2.答案：2
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