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第7讲立体几何中的向量方法考纲解读1.理解直线的方向向量及平面的法向量，并能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系(重点)2.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理，并能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲为高考必考内容预测2020年高考将会以空间向量为工具，证明平行与垂直以及求空间角的计算问题试题以解答题的形式呈现，难度为中等偏上.1用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合)v1v2v1v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l存在两个实数x，y，使vxv1yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或lvuvu0.(4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则u1u2u1u2.2用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2v1v2v1v20.(2)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则lvuvu.(3)设平面和的法向量分别为u1和u2，则u1u2u1u20.3两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则4直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有sin|cos|，的取值范围是.5求二面角的大小(1)如图，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，(2)如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos|cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)1概念辨析(1)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行()(2)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是0，()(3)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角()(4)若二面角a的两个半平面，的法向量n1，n2所成角为，则二面角a的大小是.()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为n(2,0，4)，则()AlBlClDl与斜交答案B解析因为a(1,0,2)，n(2,0，4)，所以n2a，所以an，所以l.(2)已知向量(2,2,1)，(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是()A.BCD答案D解析设平面ABC的一个法向量是n(x，y，z)，则取z1，得x，y1.则n，|n|，故平面ABC的单位法向量是.(3)在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，则AB1与C1B所成角的大小为()A60B75C90D105答案C解析取AC的中点D，建立如图所示的空间直角坐标系设ABa，则B，C1，A，B1，从而，.所以cos，0，所以AB1与C1B所成的角为90.故选C.(4)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为_，二面角BA1C1D1的余弦值为_答案解析如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)，(0,2,0)，(1，2,0)，(0,2，1)，设平面A1BC1的一个法向量为n(x，y，z)，由即令y1，得n(2,1,2)，设D1C1与平面A1BC1所成角为，则sin|cos，n|，即直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.易知平面A1C1D1的法向量m(0,0,1)，cosm，n.由图可知，二面角BA1C1D1为钝角，故二面角BA1C1D1的余弦值为.题型 利用空间向量研究空间中的位置关系角度1利用空间向量证明平行与垂直问题1(2018青岛模拟)如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，ABAC，BCAB，B1C1綊BC，AA1平面BAC.求证：(1)A1B1平面AA1C；(2)AB1平面A1C1C.证明AA1平面BAC.AA1AB，AA1AC.又ABAC，BCAB，CAB90，即CAAB，AB，AC，AA1两两互相垂直建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设AB2，则A(0,0,0)，B1(0,2,2)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)(1)(0,2,0)，(0,0，2)，(2,0,0)，设平面AA1C的一个法向量n(x，y，z)，则即即取y1，则n(0,1,0)2n，即n.A1B1平面AA1C.(2)易知(0,2,2)，(1,1,0)，(2,0，2)，设平面A1C1C的一个法向量m(x1，y1，z1)，则即令x11，则y11，z11，即m(1，1,1)m012(1)210，m.又AB1平面A1C1C，AB1平面A1C1C.角度2利用空间向量解决平行与垂直关系中的探索性问题2(2018桂林模拟)如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD.(1)求证：BDAA1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由解(1)证明：设BD与AC交于点O，则BDAC，连接A1O，在AA1O中，AA12，AO1，A1AO60，A1O2AAAO22AA1AOcos603，AO2A1O2AA，A1OAO.由于平面AA1C1C平面ABCD，且平面AA1C1C平面ABCDAC，A1O平面AA1C1C，A1O平面ABCD.以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)，A1(0,0，)，C1(0,2，)由于(2，0,0)，(0,1，)，0(2)1000，即BDAA1.(2)假设在直线CC1上存在点P，使BP平面DA1C1，设，P(x，y，z)，则(x，y1，z)(0,1，)从而有P(0,1，)，(，1，)设平面DA1C1的法向量为n(x，y，z)，则又(0,2,0)，(，0，)，则取n(1,0，1)，因为BP平面DA1C1，则n，即n0，得1，即点P在C1C的延长线上，且C1CCP.1用空间向量证明平行问题的方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示面面平行证明两平面的法向量平行(即为共线向量)；转化为线面平行、线线平行问题2用空间向量证明垂直问题的方法线线垂直问题证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直问题直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直面面垂直问题两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直3解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理(2)探索性问题的关键是设点：空间中的点可设为(x，y，z)；坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy面上的点为(x，y,0)；坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为(0,0，z)；直线(线段)AB上的点P，可设为，表示出点P的坐标，或直接利用向量运算提醒：解这类问题时要利用好向量垂直和平行的坐标表示 1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD底面ABCD，且PAPDAD，设E，F分别为PC，BD的中点(1)求证：EF平面PAD；(2)求证：平面PAB平面PDC.证明(1)如图，取AD的中点O，连接OP，OF.因为PAPD，所以POAD.因为侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD.又O，F分别为AD，BD的中点，所以OFAB.又ABCD是正方形，所以OFAD.因为PAPDAD，所以PAPD，OPOA.以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A，F，D，P，B，C.因为E为PC的中点，所以E.易知平面PAD的一个法向量为，因为，且0，又因为EF平面PAD，所以EF平面PAD.(2)因为，(0，a,0)，所以(0，a,0)0，所以，所以PACD.又PAPD，PDCDD，PD，CD平面PDC，所以PA平面PDC.又PA平面PAB，所以平面PAB平面PDC.2如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，点M是BD的中点，AECD，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示(1)求证：EM平面ABC；(2)试问在棱CD上是否存在一点N，使MN平面BDE？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由解以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,0,0)，D(2,0,4)，E(0,0,2)，M(1,1,2)，(0,0,2)，(2,2，4)，(2,0，2)，(0,0，4)，(1,1，2)，(1,1,0)(1)证明：由图易知为平面ABC的一个法向量，因为0(1)01200，所以，即AEEM，又EM平面ABC，故EM平面ABC.(2)假设在DC上存在一点N满足题意，设(0,0，4)，0,1，则(1,1，2)(0,0，4)(1,1，24)，所以即解得0,1所以棱DC上存在一点N，满足NM平面BDE，此时DNDC.题型 利用空间向量求解空间角角度1利用空间向量求解异面直线所成的角1(2015全国卷)如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面AEC平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值解(1)证明：连接BD.设BDACG，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB1.由ABC120，可得AGGC.由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC.又AEEC，所以EG，且EGAC.在RtEBG中，可得BE，故DF.在RtFDG中，可得FG.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF.从而EG2FG2EF2，所以EGFG.又ACFGG，可得EG平面AFC.因为EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC.(2)如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，|为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz.由(1)可得A(0，0)，E(1,0，)，F，C(0，0)，所以(1，)，.故cos，.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.角度2利用空间向量求解直线与平面所成的角(多维探究)2(2018全国卷)如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值解(1)证明：因为APCPAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP2.连接OB.因为ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2，知OPOB.由OPOB，OPAC，ACOBO，知PO平面ABC.(2)如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，则(0,2，2)，取平面PAC的法向量(2,0,0)设M(a,2a,0)(00)，则A1(0，4，)，B(3,0,0)，C1(0,4，)，D(0,0,0)，(0，4，)，(0,4，)，(3,0,0)，设平面BC1D的法向量为n(x，y，z)，则即则x0，令z4，可得y，故n(0，4)为平面BC1D的一个法向量设直线A1D与平面BC1D所成角为，则sin|cosn，|，解得2或8，即AA12或AA18.3(2018芜湖模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1B145，ACBC，平面BB1C1C平面AA1B1B，E为CC1的中点(1)求证：BB1AC；(2)若AA12，AB，直线A1C1与平面ABB1A1所成角为45，求平面A1B1E与平面ABC所成锐二面角的余弦值解(1)证明：过点C作COBB1交BB1于O，因为平面BB1C1C平面AA1B1B，BB1C1C平面AA1B1BB1B，所以CO平面AA1B1B，故COOA，又因为ACBC，OCOC，所以RtAOCRtBOC，故OAOB，因为AA1B1OBA45，所以AOBB1，又因为BB1CO，所以BB1平面AOC，故BB1AC.(2)以O为坐标原点，OA，OB，OC所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，ACA1C1，直线A1C1与平面ABB1A1所成角为45，直线AC与平面ABB1A1所成角为45，CO平面AA1B1B，CAO45，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，A1(1，2,0)，B1(0，1，0)，E(0，1,1)，设平面A1B1E的法向量为n(x1，y1，z1)，则令x11，得n(1,1,0)；设平面ABC的法向量为m(x2，y2，z2)，则令x21，得m(1,1,1)；cosm，n，平面A1B1E与平面ABC所成锐二面角的余弦值为.题型 求空间距离(供选用)(2018合肥三模)如图，在多面体ABCDE中，平面ABD平面ABC，ABAC，AEBD，DE綊AC，ADBD1.(1)求AB的长；(2)已知2AC4，求点E到平面BCD的距离的最大值解(1)平面ABD平面ABC，且交线为AB，而ACAB，AC平面ABD.又DEAC，DE平面ABD，从而DEBD.注意到BDAE，且DEAEE，BD平面ADE，于是，BDAD.而ADBD1，AB.(2)ADBD，取AB的中点为O，DOAB.又平面ABD平面ABC，DO平面ABC.过O作直线OYAC，以点O为坐标原点，直线OB，OY，OD分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示记AC2a，则1a2，A，B，C，D，E，(，2a,0)，.设平面BCD的法向量为n(x，y，z)由得令x，得n.又(0，a,0)，点E到平面BCD的距离d .1a2，当a2时，d取得最大值，dmax.空间距离的几个结论(1)点到直线的距离：设过点P的直线l的方向向量为单位向量n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离d.(2)点到平面的距离：设P为平面内的一点，n为平面的法向量，A为平面外一点，点A到平面的距离d.(3)线面距离、面面距离都可以转化为点到面的距离 (2018惠州第一次调研)如图，已知圆柱OO1底面半径为1，高为，平面ABCD是圆柱的一个轴截面，动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其运动路程最短时在侧面留下曲线.将轴截面ABCD绕着轴OO1逆时针旋转(0)后得到平面A1B1C1D1，边B1C1与曲线相交于点P.(1)求曲线的长度；(2)当时，求点C1到平面APB的距离解(1)将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线就是对角线BD.由于ABr，AD，BD.故曲线的长度为.(2)当时，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(0，1,0)，B(0,1,0)，P，C1(1，0，)，则(0,2,0)，(1,0，)，设平面ABP的法向量为n(x，y，z)，则取z2得n(，0,2)，点C1到平面PAB的距离d .易错防范向量法求空间角典例如图，在多面体ADEFCB中，ABFE是直角梯形，AEF90，AEBF，DCFE为正方形，且AE1，BFEF2，BFC60.(1)求证：CE平面ADB；(2)求直线AB与平面EFCD所成角的正弦值解(1)证明：如图，取FB的中点M，连接CM，EM，AM.AEBM，AEBM，四边形AEMB为平行四边形，ABEM，同理AMEF，AMEF，AMEFCD，AMEFCD，四边形AMCD为平行四边形，ADCM，又CMEMM，ABADA，平面CME平面ADB，又CE平面CME，CE平面ADB.(2)由(1)可知ABEM，直线AB与平面EFCD所成的角就是直线EM与平面EFCD所成的角过M作MNCF于点N，连接EN，由于ABFE是直角梯形，AEF90，AEBF，EFCD为正方形，EFB90，EFC90，EF平面BFC，EFMN，MN平面EFCD.以N为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，M为FB的中点，MF1.BFC60，MN，NF.N(0,0,0)，M，E，.易知平面EFCD的一个法向量为n(0,0,1)，设直线AB与平面EFCD所成角的大小为，则sin|cosn，|，直线AB与平面EFCD所成角的正弦值为.防范措施向量法求空间角要注意的问题(1)建立空间直角坐标系时证明线面垂直关系，为建系作准备，没有文字说明，直接建系通常会扣分.合理选择建系方法，从而有利于求向量的坐标.(2)准确计算利用空间向量法解决立体几何问题，计算一定要准确，避免因一个点的坐标错误导致整个题目全错的情况.
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