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第2讲数列求和及简单应用1.(2013全国卷,理14)若数列an的前n项和Sn=23an+13,则an的通项公式是an=.解析:当n=1时,由已知Sn=23an+13,得a1=23a1+13,即a1=1;当n2时,Sn-1=23an-1+13,所以an=Sn-Sn-1=23an+13-23an-1+13=23an-23an-1,所以an=-2an-1,所以数列an是等比数列,其中首项a1=1,公比q=-2,所以an=(-2)n-1.答案:(-2)n-12.(2017全国卷,理15)等差数列an的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则k=1n1Sk=.解析:因为a3=3,S4=10,所以a1+2d=3,4a1+6d=10,解得a1=1,d=1,所以an=n,Sn=n(n+1)2,所以1Sn=2n(n+1)=21n-1n+1,所以k=1n1Sk=21-12+12-13+1n-1n+1=21-1n+1=2nn+1.答案:2nn+13.(2015全国卷,理16)设Sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.解析:因为an+1=Sn+1-Sn,所以Sn+1-Sn=Sn+1Sn,又由a1=-1,知Sn0,所以1Sn-1Sn+1=1,所以1Sn是等差数列,且公差为-1,而1S1=1a1=-1,所以1Sn=-1+(n-1)(-1)=-n,所以Sn=-1n.答案:-1n4.(2014全国卷,理17)已知数列an满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明an+12是等比数列,并求an的通项公式;(2)证明:1a1+1a2+1an32.证明:(1)由an+1=3an+1得an+1+12=3an+12,又a1+12=32,所以an+12是首项为32,公比为3的等比数列.an+12=3n2,因此an的通项公式为an=3n-12.(2)由(1)知1an=23n-1.因为当n1时,3n-123n-1,所以13n-1123n-1,于是1a1+1a2+1an1+13+13n-1=321-13n32.所以1a1+1a2+1an0,an2+2an=4Sn+3.(1)求an的通项公式;(2)设bn=1anan+1,求数列bn的前n项和.解:(1)由an2+2an=4Sn+3,可知an+12+2an+1=4Sn+1+3.可得an+12-an2+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)=an+12-an2=(an+1+an)(an+1-an).由于an0,可得an+1-an=2.又a12+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3.所以an是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.(2)由an=2n+1可知bn=1anan+1=1(2n+1)(2n+3)=1212n+1-12n+3.设数列bn的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+bn=1213-15+15-17+12n+1-12n+3=n3(2n+3).1.考查角度考查数列求通项公式(利用通项与前n项和的关系、数列递推式等),考查数列求和(公式法、分组法、裂项法、错位相减法等).2.题型及难易度选择题、填空题、解答题均有,难度中等偏下.(对应学生用书第2831页) 数列的通项公式【例1】 (1)(2018安徽黄山一模)数列an中,已知对任意正整数n,有a1+a2+an=2n-1,则a12+a22+an2等于()(A)(2n-1)2(B)13(2n-1)2(C)4n-1(D)13(4n-1)(2)在数列an中,已知a1=2,an+1=an3an+1(kN*),则an的表达式是()(A)24n-3(B)26n-5(C)24n+3(D)22n-1(3)(2018河北石家庄一模)若数列an满足a1=2,an+1=1+an1-an,则a2 018的值为()(A)2(B)-3(C)-12(D)13解析:(1)由递推关系可得a1=1,a1+a2+an-1+an=2n-1,a1+a2+an-1=2n-1-1,两式作差可得an=2n-2n-1=2n-1,则an2=(2n-1)2=22n-2=4n-1,故数列an2是首项为1,公比为4的等比数列,结合等比数列前n项和公式有a12+a22+an2=1(1-4n)1-4=13(4n-1).故选D.(2)因为an+1=an3an+1,所以1an+1=3an+1an=1an+3,所以数列1an是等差数列,公差d=3.又a1=2,所以1a1=12,所以1an=1a1+(n-1)d=12+3(n-1)=3n-52,所以an=13n-52=26n-5.故选B.(3)由题a1=2,an+1=1+an1-an,所以a2=1+a11-a1=-3,a3=1+a21-a2=-12,a4=1+a31-a3=13,a5=1+a41-a4=2.故数列an是以4为周期的周期数列,故a2 018=a5044+2=a2=-3.故选B.求数列的通项公式的基本类型:(1)利用an=S1,n=1,Sn-Sn-1(n2)直接求解,或者据此得出数列的递推式求解,特别是已知Sn=kan+b(k0,1,b0)时可得数列an一定是等比数列;(2)三种简单的递推数列:an+1-an=f(n),an+1an=f(n),an+1=pan+q(p0,1,q0),第一个使用累差的方法、第二个使用累积的方法、第三个可以使用待定系数法化为等比数列(设an+1+=p(an+),展开比较系数得出);(3)周期数列,通过验证或者推理得出数列的周期性后得出其通项公式.热点训练1:(1)(2018湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考)在数列an中,a1=2,an+1n+1=ann+ln1+1n,则an等于()(A)2+nln n(B)2n+(n-1)ln n(C)2n+nln n(D)1+n+nln n(2)(2018福建三明5月质检)若Sn为数列an的前n项和,且Sn=2an-2,则S8等于()(A)255(B)256(C)510(D)511(3)(2018山东济宁一模)设数列an满足a1=1,a2=2,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n2且nN*),则a18等于()(A)259(B)269(C)3(D)289(4)(2018莆田二模)在数列an中,a1=2,an+1=2an+1,则a5为.解析:(1)由题意得an+1n+1-ann=ln(n+1)-ln n,n分别用1,2,3,(n-1)取代,累加得ann-a11=ln n-ln 1=ln n,ann=2+ln n,所以an=(ln n+2)n.故选C.(2)当n=1时,a1=2a1-2,据此可得a1=2,当n2时Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2,两式作差可得an=2an-2an-1,则an=2an-1,据此可得数列an是首项为2,公比为2的等比数列,其前8项和为S8=2(1-28)1-2=29-2=512-2=510.故选C.(3)令bn=nan,则2bn=bn-1+bn+1,所以bn为等差数列,因为b1=1,b2=4,所以公差d=3,则bn=3n-2,所以b18=52,即18a18=52,所以a18=269.故选B.(4)数列an中,a1=2,an+1=2an+1,变形为an+1+1=2(an+1),a1+1=3,所以数列an+1为等比数列,首项为3,公比为2,所以an+1=32n-1,即an=32n-1-1,则a5=324-1=47.答案:(1)C(2)C(3)B(4)47数列求和考向1公式和分组法求和【例2】 (1)(2018河南洛阳第三次统考)记数列an的前n项和为Sn.已知a1=1,(Sn+1-Sn)an=2n(nN*),则S2 018等于()(A)3(21 009-1)(B)32(21 009-1)(C)3(22 018-1)(D)32(22 018-1)(2)(2018河北唐山三模)已知数列an是等差数列,bn是等比数列,a1=1,b1=2,a2+b2=7,a3+b3=13.求an和bn的通项公式;若cn=an,n为奇数bn,n为偶数,求数列cn的前2n项和S2n.(1)解析:由题数列an满足a1=1,(Sn+1-Sn)an=2n(nN*),所以an+2an+1an+1an=an+2an=2n+12n=2,又a2a1=2,a1=1,所以a2=2,由此可得数列an的奇数项与偶数项分别成等比数列,首项分别为1,2,则S2 018=(a1+a3+a2 017)+(a2+a4+a2 018)=21 009-12-1+2(21 009-1)2-1=321 009-3.故选A.(2)解:设数列an的公差为d,数列bn的公比为q,依题意有,1+d+2q=7,1+2d+2q2=13,解得d=2,q=2,故an=2n-1,bn=2n,由已知c2n-1=a2n-1=4n-3,c2n=b2n=4n,所以数列cn的前2n项和为S2n=(a1+a3+a2n-1)+(b2+b4+b2n)=n(1+4n-3)2+4(1-4n)1-4=2n2-n+43(4n-1).分组求和的三种题型:(1)通项公式有若干部分构成,每个部分可以使用公式法、裂项法等求和,只需拆开通项公式,分成若干部分求和即得;(2)奇数项、偶数项分别为可以使用公式、裂项等方法求和;(3)分段求和的,把数列分成若干段,每段可以求和.考向2裂项法求和【例3】 (1)(2018天津南开中学模拟)已知数列bn是首项b1=1,b4=10的等差数列,设bn+2=3log14an(nN*).求证:an是等比数列;记cn=1bnbn+1,求数列cn的前n项和Sn;在的条件下,记dn=(3n+1)Sn,若对任意正整数n,不等式1n+d1+1n+d2+1n+dnm24恒成立,求整数m的最大值.(2)(2018上饶二模)已知数列an的前n项和Sn=2n+1+n-2.求数列an的通项公式;设bn=log2(an-1),求Tn=1b1b2+1b2b3+1b3b4+1bnbn+1.(1)证明:由b1=1及b4=10,得d=b4-b14-1=3,所以bn=3n-2.因为bn+2=3log14an=3n-2+2=3n,所以log14an=n,即an=14n(nN*).则an+1an=(14)n+1(14)n=14,所以数列an是首项a1=14,公比q=14的等比数列.解:由,得cn=1bnbn+1=1313n-2-13n+1,所以Sn=131-14+14-17+13n-2-13n+1=131-13n+1=n3n+1.解:因为dn=(3n+1)Sn=(3n+1)n3n+1=n,则问题转化为对任意正整数n使不等式1n+1+1n+2+1n+nm24恒成立.设f(n)=1n+1+1n+2+1n+3+1n+n,则f(n+1)-f(n)=1(n+1)+1+1(n+1)+2+1(n+1)+(n+1)-1n+1+1n+2+1n+n=12n+1+12n+2-1n+1=12n+1-12n+20.所以f(n+1)f(n),故f(n)的最小值是f(1)=12.由12m24,得m0,a2a3=8a1,且a4,36,2a6成等差数列.求数列an的通项公式;记bn=2nan,求数列bn的前n项和Tn.(2)(2018福建百校高考临考冲刺)已知数列an-n是等比数列,且a1=9,a2=36.求数列an的通项公式;求数列an-n2的前n项和Sn.解:(1)由a2a3=8a1得a1q3=8,即a4=8,又因为a4,36,2a6成等差数列,所以a4+2a6=72,将a4=8代入得a6=32,从而a1=1,q=2,所以an=2n-1.bn=2nan=2n12n-1,Tn=2120+4121+6122+2(n-1)12n-2+2n12n-1,12Tn=2121+4122+6123+2(n-1)12n-1+2n12n,两式相减得12Tn=2120+2121+122+12n-1-2n12n=2+2121-(12)n-11-12-2n12n=4-(n+2)12n-1,所以Tn=8-(n+2)12n-2.(2)设等比数列an-n的公比为q,则q=a2-2a1-1=6-23-1=2,从而an-n=(3-1)2n-1,故an=(n+2n)2;因为an=(n+2n)2,所以an-n2=n2n+1+4n,记Tn=22+223+(n-1)2n+n2n+1,2Tn=23+224+(n-1)2n+1+n2n+2,所以-Tn=22+23+2n+1-n2n+2=2n+2-4-n2n+2=(1-n)2n+2-4,所以Tn=(n-1)2n+2+4.故Sn=Tn+4-4n+11-4=(n-1)2n+2+4n+1+83.数列的综合问题【例5】 (1)(2018安徽涡阳一中高三最后一卷)古代数学著作张丘建算经上曾出现“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺,前30天共织布390尺,记女子每天织布的数量构成数列an.在30天内,该女子在偶数天所织布的数量比在奇数天所织布的数量多多少?设数列1anan+1的前n项和为Tn,证明:Tn2980.(2)(2018江西重点中学协作体二联)已知等差数列an的公差d0,a1=0,其前n项和为Sn,且a2+2,S3,S4成等比数列.求数列an的通项公式;若bn=(2n+2)22n+Sn+1,数列bn的前n项和为Tn,求证:Tn-2n32.(1)解:根据题意,an应为等差数列,设数列an的公差为d,前n项和为Sn,由题意知305+29302d=390,即d=1629,S偶数项-S奇数项=15d=151629=24029(尺),故该女子在偶数天所织布的数量比在奇数天所织布的数量多24029尺.证明:由可知,an=5+(n-1)1629,故1anan+1=1d1an-1an+1=29161an-1an+1,所以1a1a2+1a2a3+1anan+1=29161a1-1a2+1a2-1a3+1an-1an+1=291615-15+16n292980.(2)解:由a1=0得an=(n-1)d,Sn=n(n-1)d2,因为a2+2,S3,S4成等比数列,所以S32=(a2+2)S4,即(3d)2=(d+2)6d,整理得3d2-12d=0,即d2-4d=0,因为d0,所以d=4,所以an=(n-1)d=4(n-1)=4n-4.证明:由可得Sn+1=2n(n+1),所以bn=(2n+2)22n+2n(n+1)=4(n+1)22n(n+2)=2+2n(n+2)=2+1n-1n+2,所以Tn=2n+1-13+12-14+1n-1n+2=2n+1+12-1n+1-1n+2,所以Tn-2n32.在数列综合问题中,与数列求和有关的不等式是一个重要方法,解决的方法是“放缩法”.(1)如果和式能够求出,则求出结果后进行放缩,例5中的两个题目均是这种类型;(2)如果和式不能求出,则需要把数列的通项放缩成能够求和的形式,求和后再进行放缩,但要注意放缩的“尺度”和“位置”,如证明:对任意正整数,112+122+1n253时,放缩的尺度为1n2Tn恒成立?若存在,求m的最小值;若不存在,请说明理由.(2)(2018大庆一模)已知数列an的前n项和为Sn,点(n,Sn)在曲线y=12x2+52x上,数列bn满足bn+bn+2=2bn+1,b4=11,bn的前5项和为45.求an,bn的通项公式;设cn=1(2an-3)(2bn-8),数列cn的前n项和为Tn,求使不等式Tnk54恒成立的最大正整数k的值.(1)解:当n=1时,a1=S1,由S1=1-12a1,得a1=23.当n2时,Sn=1-12an,Sn-1=1-12an-1,所以an=Sn-Sn-1=1-12an-1-12an-1=12an-1-12an,所以an=13an-1,所以an是以23为首项,13为公比的等比数列,所以Sn=231-(13)n1-13=1-13n.存在.由可知,bn=-log3(1-Sn+1)=-log31-1-13n+1=-log313n+1=n+1,所以1bnbn+1=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2,所以Tn=1b1b2+1b2b3+1b3b4+1bnbn+1=12-13+13-14+14-15+1n+1-1n+2=12-1n+212,所以nN*恒有SnTn,故存在正整数,当nm时SnTn恒成立,其m的最小值为1.(2)由已知得Sn=12n2+52n,当n=1时,a1=S1=12+52=3,当n2时,an=Sn-Sn-1=12n2+52n-12(n-1)2-52(n-1)=n+2,当n=1时,符合上式.所以an=n+2,因为数列bn满足bn+bn+2=2bn+1,所以bn为等差数列.设其公差为d,则b4=b1+3d=11,5b3=5(b1+2d)=45,解得b1=5,d=2,所以bn=2n+3.由(1)得,cn=1(2an-3)(2bn-8)=1(2n+1)(4n-2)=12(2n+1)(2n-1)=1412n-1-12n+1,Tn=141-13+13-15+12n-1-12n+1=141-12n+1,因为Tn+1-Tn=1412n+1-12n+3=12(2n+1)(2n+3)0,所以Tn是递增数列,所以TnT1=16,故使Tnk54恒成立只要T1=16k54恒成立即可,所以k9,最大正整数k的值为8. 【例1】 (1)(2018云南玉溪适应考)已知数列an中,an+1+an=(-1)nn,则数列an的前2 018项的和为;(2)(2018湖北高三5月冲刺)在数列an中,an=n2+2n+2n2+2n,其前n项和为Sn,用符号x表示不超过x的最大整数.当S1+S2+Sn=63时,正整数n为;(3)(2018安徽合肥一中最后一卷)已知数列an满足a1=3,(3-an+1)(6+an)=18(nN*),则i=1n1ai的值是;(4)(2018安徽皖江八校八联)设Sn为数列an的前n项和,已知a1=2,对任意p,qN+,都有ap+q=apaq,则f(n)=Sn-1(Sn-1+2)+256an的最小值为;(5)(2018江西重点中学协作体二联)已知数列an中,a1=1,函数f(x)=x2 018+2an+1cos x-(4an+2)有唯一零点,若bn=an+1anan+1,则数列bn的前n项的和为;(6)(2018山东济南二模)已知x表示不超过x的最大整数,例如:2.3=2,-1.5=-2.在数列an中,an=lg n,nN+,记Sn为数列an的前n项和,则S2 018=;(7)(2018广西钦州三检)在数列an中,a1=0,an+1=3+an1-3an,则S2 018=.解析:(1)由题意可得a2+a1=-1,a4+a3=-3,a6+a5=-5,a2 018+a2 017=-2 017,则数列an的前2 018项的和为-1-3-2 017=-1+2 01721 009=-1 018 081.(2)因为an=n2+2n+2n2+2n=1+2n2+2n=1+1n-1n+2,所以Sn=1+1-13+1+12-14+1+1n-1n+2=n+1+12-1n+1-1n+2,因为符号x表示不超过x的最大整数,所以S1=1,S2=2,Sn=n+1(n3),因此S1+S2+Sn=1+2+4+5+(n+1)=3+4+5+(n+1)=(n-1)(n+1+3)2=63(n3),所以(n-1)(n+4)=126,所以n=10.(3)设bn=1an,n=1,2,则3-1bn+16+1bn=18,即3bn+1-6bn-1=0,所以bn+1=2bn+13,bn+1+13=2bn+13,故数列bn+13是公比为2的等比数列,则bn+13=2n-1b1+13=2n-11a1+13=132n,所以bn=13(2n-1),i=1n1ai=i=1nbi=i=1n13(2n-1)=132(2n-1)2-1-n=13(2n+1-n-2).(4)当q=1时ap+1=apa1=2ap,所以数列an是首项为2,公比为2的等比数列,所以an=2n,Sn=2(2n-1)2-1=2n+1-2,所以Sn-1=2n-2,Sn-1(Sn-1+2)=(2n-2)2n,所以f(n)=(2n-2)2n+2562n=2n-2+2562n2256-2=30,当且仅当2n=16,即n=4时,等号成立,故f(n)min=30.(5)因为f(-x)=(-x)2 018+2an+1cos(-x)-(4an+2)=x2 018+2an+1cos x-(4an+2)=f(x),所以f(x)是偶函数.又因为函数f(x)有唯一零点,所以f(0)=0,即f(0)=2an+1-(4an+2)=0,所以an+1=2an+1,所以an+1+1an+1=2,又a1+1=2,所以数列an+1是等比数列,公比为2,所以an+1=2n.bn=an+1anan+1=2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-1,Sn=b1+b2+bn=12-1-122-1+122-1-123-1+12n-1-12n+1-1=1-12n+1-1=2n+1-22n+1-1.(6)当1n9时,an=lg n=0;当10n99时,an=lg n=1,此区间所有项的和为90.当100n999时,an=lg n=2,此区间所有项的和为9002=1 800.当1 000n2 018时,an=lg n=3,此区间所有项的和为31 019=3 057.所以S2 018=90+1 800+3 057=4 947.(7)因为a1=0,an+1=3+an1-3an,所以a2=31=3,a3=3+31-33=23-2=-3,a4=3-31+33=0,即数列an的取值具备周期性,周期为3,且a1+a2+a3=0,则S2 018=S3672+2=a1+a2=3.答案:(1)-1 018 081(2)10(3)13(2n+1-n-2)(4)30(5)2n+1-22n+1-1(6)4 947(7)3【例2】 (2018海南一模)已知数列an是公差为1的等差数列,且a4,a6,a9成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=(-2)an+(-1)nan,求数列bn的前2n项和.解:(1)因为a4,a6,a9成等比数列,所以a62=a4a9,又因为数列an是公差为1的等差数列,a6=a1+5,a4=a1+3,a9=a1+8,所以(a1+5)2=(a1+3)(a1+8),解得a1=1,所以an=a1+(n-1)d=n.(2)由(1)可知an=n.因为bn=(-2)an+(-1)nan,所以bn=(-2)n+(-1)nn.所以S2n=-2+(-2)2+(-2)2n+(-1+2-3+4-5+2n)=-2+22n21+2+n=n+22n+1-23.【例3】 (2018华中师大一附中5月押题)已知nN*,设Sn是单调递减的等比数列an的前n项和,a2=12且S4+a4,S6+a6,S5+a5成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=-log2an+n(-1),数列1bnbn+1的前n项和Tn满足T2 018=2 018,求的值.解:(1)设数列an的公比为q,由2(S6+a6)=S4+a4+S5+a5,得(S6-S5)+(S6-S4)+2a6=a4+a5,即4a6=a4,所以q2=14,因为an是单调递减数列,所以q=12,又因为a2=12,所以a1=1,所以an=12n-1.(2)由(1)得bn=-log212n-1+n=(+1)n-1,所以1bnbn+1=1(+1)n-1(+1)(n+1)-1=1+11(+1)n-1-1(+1)(n+1)-1,所以T2 018=1+11-12 019+2 018=2 018(2 019+2 018)=2 018,所以=-1或=12 019,因为-1,所以=12 019.【例4】 (2018江西省南昌市三模)已知数列an满足a12+a222+a323+an2n=n2+n.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=(-1)nan2,求数列bn的前n项和Sn.解:(1) a12+a222+a323+an2n=n2+n,所以当n2时,a12+a222+a323+an-12n-1=(n-1)2+n-1,-,得an2n=2n(n2),所以an=n2n+1(n2).又因为当n=1时,a12=1+1,所以a1=4,所以an=n2n+1.(2)bn=(-1)nan2=n(-2)nSn=1(-2)1+2(-2)2+3(-2)3+n(-2)n,(-2)Sn=1(-2)2+2(-2)3+3(-2)4+(n-1)(-2)n+n(-2)n+1,-,得3Sn=(-2)+(-2)2+(-2)3+(-2)4+(-2)n-n(-2)n+1=-21-(-2)n3-n(-2)n+1,所以Sn=-(3n+1)(-2)n+1+29.
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