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压轴大题高分练8.函数与导数(D组)压轴大题集训练,练就慧眼和规范,筑牢高考高分根基!1.已知函数f(x)=(x-4)ex-2+mx(mR).(1)当x2时,f(x)0恒成立,求实数m的取值范围.(2)证明:当a0,1)时,函数g(x)=ex-2-ax+a(x-2)2(x2)有最小值,设g(x)最小值为h(a),求函数h(a)的值域.【解析】(1)因为f(x)=(x-4)ex-2+mx0对x(2,+)恒成立,等价于x-4xex-2-m对x(2,+)恒成立,设(x)=x-4xex-2=1-4xex-2,(x)=1-4x+4x2ex-2=(x-2)2x2ex-20,故(x)在(2,+)上单调递增,当x2时,由题意知(x)(2)=-1,所以-m-1,即m1,所以实数m的取值范围为1,+).(2)对g(x)=ex-2-ax+a(x-2)2(x2)求导得g(x)=(x-4)ex-2+ax(x-2)3=x(x-4)ex-2x+a(x-2)3(x2),记F(x)=x-4xex-2+a(x2),由(1)知F(x)在区间(2,+)内单调递增,又F(2)=-1+a0,F(4)=a0,所以存在唯一正实数x0(2,4,使得F(x0)=x0-4x0ex0-2+a=0,-a=x0-4x0ex0-2.所以当x(2,x0)时,F(x)0,g(x)0,g(x)0,函数g(x)在区间(x0,+)上单调递增; 所以g(x)在(2,+)内有最小值g(x0)=ex0-2-ax0+a(x0-2)2 .由题设即h(a)=ex0-2-ax0+a(x0-2)2.又因为-a=x0-4x0ex0-2,所以h(a)=1x0ex0-2.根据(1)知,(x)=x-4xex-2在(2,+)内单调递增,x0-4x0ex0-2=-a(-1,0,所以2x04.令u(x)=1xex-2(20,函数u(x)在区间(2,4内单调递增,所以u(2)2.【解析】(1)f(x)=ex+xex=ex(x+1),令f(x)=0,解得x=-1,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表:x(-,-1)-1(-1,+)f(x)0f(x)单调递减-1e单调递增所以函数f(x)的增区间为(-1,+),减区间为(-,-1);函数f(x)在x=-1处取得极小值f(-1)=-1e,无极大值.(2)由g(x)=xex-12a(x2+2x+1),则g(x)=(x+1)(ex-a),当a=0时,g(x)=xex,易知函数g(x)只有一个零点,不符合题意;当a0时,在(-,-1)上,g(x)0,g(x)单调递增,又g(-1)=-1e0,当x-时,g(x)+,所以函数g(x)有两个零点;当0a0,g(x)单调递增,在(ln a,-1)上g(x)0,g(x)单调递减.又g(ln a)=aln a-12a(ln a)2-alna+12=-12a(ln a)2+11e时,在(-,-1)和(ln a,+)上g(x)0,g(x)单调递增,在(-1,ln a)上g(x)0,g(x)单调递减.又g(-1)=-1e00x2,根据h(x1)=h(x2)结合图象可知x11,x21,2x-20,所以e2x-2-10,则F(x)0,所以F(x)在(1,+)上单调递增,又因为F(1)=0,所以x1时,F(x)F(1)=0,即当x1时,h(x)h(2-x),则h(x1)h(2-x1),又h(x1)=h(x2),所以h(x2)h(2-x1),因x11,所以2-x12-x1,所以x1+x22得证.
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