D82二重积分的计算(极坐标).ppt

第二节 一 利用直角坐标计算二重积分 二 利用极坐标计算二重积分 机动目录上页下页返回结束 二重积分的计算法 2 第八章 复习 一 利用直角坐标计算二重积分 在D上连续时 由曲顶柱体体积的计算可知 若D为X 型区域 则 若D为Y 型区域 则 机动目录上页下页返回结束 二 利用极坐标计算二重积分 在极坐标系下 用同心圆r 常数 则除包含边界点的小区域外 小区域的面积可以近似地 及射线 常数 分划区域D为 机动目录上页下页返回结束 看作是一个小长方形的面积 对应有 在 内取点 即 机动目录上页下页返回结束 注 设 则 特别 对 机动目录上页下页返回结束 若f 1则可求得D的面积 思考 下列各图中域D分别与x y轴相切于原点 试 答 问 的变化范围是什么 1 2 机动目录上页下页返回结束 用极坐标表示下列区域 2 机动目录上页下页返回结束 解 机动目录上页下页返回结束 例2 计算 其中 解 在极坐标系下 原式 的原函数不是初等函数 故本题无法用直角 由于 故 坐标计算 机动目录上页下页返回结束 注 利用例2可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式 事实上 当D为R2时 利用例2的结果 得 故 式成立 机动目录上页下页返回结束 解 机动目录上页下页返回结束 解 机动目录上页下页返回结束 例5计算 解 机动目录上页下页返回结束 例6计算 解 机动目录上页下页返回结束 方法小结 1 适用范围 2 积分上下限的确定 机动目录上页下页返回结束 原则 建议画出积分区域的草图 由几何意义用代换 找交点 边界 解不等式 内容小结 1 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 若积分区域为 则 若积分区域为 则 机动目录上页下页返回结束 则 极坐标系情形 若积分区域为 机动目录上页下页返回结束 2 计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便 域边界应尽量多为坐标线 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 累次积好算为妙 图示法 不等式 先积一条线 后扫积分域 充分利用对称性 应用换元公式 机动目录上页下页返回结束 1 将积分化为极坐标形式 并计算积分值 解积分区域 又可表为 所以 思考与练习 机动目录上页下页返回结束 解