D68几种重要的特殊向量场.ppt

第八节 4 一 无旋场 二 无源场 三 调和场 几种特殊重要的向量场 第六章 定义1 如果对于空间区域G内的任何简单闭曲线C 都可以做出一张以C为边界而完全属于G的曲面 那么域G称为一维单连域 如果对于G内任何不自身相交的闭曲面S 它所包围的区域全部属于G中 那么域G称为二维单连域 高斯 例 两个同心球面围成的区域 一维 非二维 球域挖去一条直径 非一维 二维 轮胎面 非一维 二维 定理1 一 无旋场 定义2 设有向量场 若线积分的值在G内与路径无关 则称A为保守场 其中A B为G内任意两点 2 若在G内恒有 则称A为无旋场 3 若存在定义在G上的函数u 使则称A为有势场 并称u为A的势函数或位函数 空间曲线积分与路径无关的条件 定理1 设G是空间一维单连通域 则下列四个条件相互等价 1 对G内任一分段光滑闭曲线 有环量 2 对G内任一分段光滑曲线 与路径无关 即A为一保守场 3 在G内存在某一函数u 使 4 A是无旋场 在G内处处有 即A为有势场 例1 提示 所以A是有势场 求势函数的方法有以下三种 1 线积分法 2 偏积分法 3 凑全微分法 二 无源场 定义3 若在向量场A的场域中处处有 则称A为无源场 定义4 通过场域某一块曲面S的所有向量线构成的一个管状区域称为向量管 定理2 设是二维单连域 则下列三个命题是等价的 3 在G内存在一向量函数B M 使 即A是某向量场B的旋度场 其中B称为A的一个向量势 1 若在G内恒有 即A为无源场 2 A沿G内任一不自相交闭曲面S的通量为零 即 定理3 在二维单连域G内 无源场A M 穿过G内任一向量管的所有断面的通量均相等 三 调和场 旋度和散度都等于零的向量场称为调和场 THEEND