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36直线与平面、平面与平面所成的角读教材填要点1直线与平面所成的角(1)定义：如果直线l与平面垂直，l与平面所成的角为直角，.如果直线l与平面不垂直，则l在内的射影是一条直线l，将l与l所成的角定义为l与平面所成的角(2)范围：.(3)计算：作直线l的方向向量v和平面的法向量n，并且可选v与n所成的角1，则l与平面所成的角 1，sin cos_1.2二面角(1)定义：从一条直线l出发的两个半平面，组成的图形叫作二面角，记作l.(2)二面角的平面角过二面角l的棱l上任意一点O作垂直于棱l的平面，分别与两个面，相交得到两条射线OA，OB，则AOB称为二面角l的平面角(3)二面角的范围二面角的平面角的度数在0180范围内，特别当二面角l是90时称它为直二面角，此时称两个面，相互垂直3两个平面所成的角两个相交平面，以交线为棱可以构成四个二面角，其中最小的一个二面角称为这两个平面所成的角，取值范围是.两个平行平面所成的角为0.小问题大思维1当一条直线l与一个平面的夹角为0时，这条直线一定在平面内吗？提示：不一定，这条直线可能与平面平行2设直线l与平面所成的角为，l的方向向量为a，平面的法向量为n，如何用a和n求角？提示：sin |cosa，n|.3二面角的法向量的夹角与二面角的平面角的大小有什么关系？提示：相等或互补求直线与平面所成的角如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M，N分别为PC，PB的中点求BD与平面ADMN所成的角.自主解答如图所示，建立空间直角坐标系，设BC1，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，则N(1,0,1)，(2,2,0)，(0,2,0)，(1,0,1)设平面ADMN的一个法向量为n(x，y，z)，则由得取x1，则z1，n(1,0，1)cos，n，sin |cos，n|.又090，30.利用向量法求直线与平面所成角的步骤为：(1)确定直线的方向向量和平面的法向量；(2)求两个向量夹角的余弦值；(3)确定向量夹角的范围；(4)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去90.1.如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，ABAC1，PA2.求直线PA与平面DEF所成角的正弦值解：如图，以点A为原点，AB，AC，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.由ABAC1，PA2，得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D，E，F.(0,0，2)，.设平面DEF的法向量为n(x，y，z)则即解得取z1，则平面DEF的一个法向量为n(2,0,1)设PA与平面DEF所成的角为，则sin |cos，n|，故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.求二面角 如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形(1)证明：O1O底面ABCD.(2)若CBA60，求二面角C1OB1D的余弦值自主解答(1)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1AC，DD1BD，又CC1DD1OO1，所以OO1AC，OO1BD，因为ACBDO，所以O1O底面ABCD.(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，ACBD.又O1O底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系设棱长为2，因为CBA60，所以OB，OC1，所以O(0,0,0)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)，平面BDD1B1的一个法向量为n(0,1,0)，设平面OC1B1的法向量为m(x，y，z)，则由m，m，所以取z，则x2，y2，所以m(2,2，)，所以cosm，n.由图形可知二面角C1OB1D的大小为锐角，所以二面角C1OB1D的余弦值为.利用法向量求二面角的步骤为：(1)确定两平面的法向量；(2)求两法向量的夹角的余弦值；(3)确定二面角的范围；(4)确定二面角与面面角的关系：二面角范围的确定要通过图形观察，法向量一般不能体现出来2(2016全国卷)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60.(1)证明：平面ABEF平面EFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值解：(1)证明：由已知可得AFDF，AFFE，所以AF平面EFDC.又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.(2)过D作DGEF，垂足为G.由(1)知DG平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz.由(1)知DFE为二面角D AFE的平面角，故DFE60，则DF2，DG，可得A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3,0,0)，D(0,0，)由已知得ABEF，所以AB平面EFDC.又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF.由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF为二面角CBEF的平面角，CEF60.从而可得C(2,0，)所以(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0)设n(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即所以可取n(3,0，)设m是平面ABCD的法向量，则同理可取m(0，4)则cos n，m.由图知，二面角EBCA为钝角，故二面角EBCA的余弦值为.解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试已知PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC，求二面角APBC的余弦值解法一：如图所示，取PB的中点D，连接CD.PCBC，CDPB.作AEPB于E，那么二面角APBC的大小就等于异面直线DC与EA所成的角的大小PD1，PE，DEPDPE.又AE，CD1，AC1，且，|2|2|2|22|cos()，即1121cos ，解得cos .故二面角APBC的余弦值为.法二：由法一可知，向量与的夹角的大小就是二面角APBC的大小，如图，建立空间直角坐标系Cxyz，则A(1,0,0)，B(0，0)，C(0,0,0)，P(1,0,1)，D为PB的中点，D.又，即E分的比为.E，|，|1，.cos，.故二面角APBC的余弦值为.法三：如图所示建立空间直角坐标系，则A(0，0,0)，B(，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，(0,0,1)，(，1,0)，(，0,0)， (0，1,1)，设平面PAB的法向量为m(x，y，z)，则令x1，则m(1，0)设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则令y1，则n(0，1，1)，cosm，n.二面角APBC的余弦值为.1若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()A120B60C30D以上均错解析：设直线l与平面所成的角为，则sin |cos 120|，又090，30.答案：C2若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成的二面角的余弦值为()A.B.C.D.解析：设正三棱锥PABC，PA，PB，PC两两互相垂直，设PAPBPCa.取AB的中点D，连接PD，CD，易知PDC为侧面PAB与底面ABC所成的角易求PDa，CDa，故cosPDC.答案：B3在边长为a的正ABC中，ADBC于D，沿AD折成二面角BADC后，BCa，这时二面角BADC的大小为()A30B45C60D90解析：由定义知，BDC为所求二面角的平面角，又BCBDDCa，BDC为等边三角形，BDC60.答案：C4若一个二面角的两个面的法向量分别为m(0,0,3)，n(8,9,2)，则这个锐二面角的余弦值为_解析：cosm，n.答案：5正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是_解析：如图，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，取正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，易证是平面A1BD的一个法向量又(1,1,1)，(1,0,1)所以cos，.所以BC1与平面A1BD所成角的正弦值为.答案：6(2017江苏高考)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且ABAD2，AA1，BAD120.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角BA1DA的正弦值解：在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.因为AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD.如图，以，为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz.因为ABAD2，AA1，BAD120，则A(0,0,0)，B(，1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0，0，)，C1(，1，)(1)(，1，)，(，1，)则cos，.因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.(2)可知平面A1DA的一个法向量为(，0,0)设m(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，又(，1，)，(，3,0)，则即不妨取x3，则y，z2，所以m(3，2)为平面BA1D的一个法向量，从而cos，m.设二面角BA1DA的大小为，则|cos |.因为0，所以sin .因此二面角BA1DA的正弦值为.一、选择题1若平面的一个法向量n(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a(1,2,3)，则l与所成角的正弦值为()A.B.CD.解析：cosa，n.l与所成角的正弦值为.答案：B2.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA平面AC，若EA1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是()A120B45C135D60解析：以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，(1,0，1)，(1,1，1)设平面BCE的法向量为n(x，y，z)，则有可取n(1,0,1)，又平面EAD的法向量为(1,0,0)，所以cosn，故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45.答案：B3在直角坐标系中，已知A(2,3)，B(2，3)，沿x轴把直角坐标系折成平面角为的二面角AOxB，使AOB90，则cos 为()AB.C.D解析： 过A，B分别作x轴垂线，垂足分别为A，B.则AA3，BB3，AB4，OAOB，折后，AOB90，AB.由，得|2|2|2|22|cos()269169233cos()，cos .答案：C4.已知平面内有一个以AB为直径的圆，PA，点C在圆周上(异于点A，B)，点D，E分别是点A在PC，PB上的射影，则()AADE是二面角APCB的平面角BAED是二面角APBC的平面角CDAE是二面角BPAC的平面角DACB是二面角APCB的平面角解析：选项A错误，若DEPC，则PC平面ADE，所以PCAE，又AEPB，所以AE平面PBC，同理可证：AD平面PBC，这是不可能的选项B正确，因为PABC，ACBC，所以BC平面PAC，所以ADBC，又ADPC，且PCBCC，所以AD平面PBC，又因为AEPB，所以DEPB，所以AED为二面角APBC的平面角选项C错误，因为PA平面，所以PA AC且PAAB，所以CAB为二面角BPAC的平面角，因此，DAE不是二面角BPAC的平面角选项D错误，在PAC中，PAC90，所以AC与PC不垂直，因此，ACB不是二面角APCB的平面角答案：B二、填空题5如图所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC夹角的正弦值为_解析：不妨设正三棱柱ABCA1B1C1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(，1,0)，B1(，1,2)，D，则， (，1,2)，设平面B1DC的法向量为n(x，y,1)，由解得n(，1,1)又，sin |cos，n|.答案：6正ABC与正BCD所在平面垂直，则二面角ABDC的正弦值为_解析：取BC中点O，连接AO，DO.建立如图所示空间直角坐标系，设BC1，则A，B，D.，.由于为平面BCD的法向量，可进一步求出平面ABD的一个法向量n，cosn，sinn，.二面角ABDC的正弦值为.答案：7已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为_解析：建立如图所示空间直角坐标系，则S(0,0,3)，A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)(，1,0)， (，1，3)，(0,2，3)设平面SBC的法向量为n(x，y，z)则令y3，则z2，x，n(，3,2)设AB与平面SBC所成的角为，则sin |cosn，|.答案：8在体积为1的直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，ACBC1，求直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值为_解析：由题意，可得体积VCC1SABCCC1ACBCCC11，CC12.建立如图所示空间直角坐标系，得点B(0,1,0)，.则(1,1，2)，又平面BB1C1C的法向量为n(1,0,0)设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为，与n的夹角为，则cos ，sin |cos |，即直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值为.答案：三、解答题9.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF与平面所成角的正弦值解：(1)交线围成的正方形EHGF如图所示(2)作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EMAA18.因为四边形EHGF为正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，所以AH10.以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,8)， (10,0,0)， (0，6，8)设n(x，y，z)是平面EHGF的法向量，则即所以可取n(0,4,3)又(10,4,8)，故|cosn，|.所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为.10(2017全国卷)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90，E是PD的中点(1)证明：直线CE平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角MABD的余弦值解：(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.因为E是PD的中点，所以EFAD，EFAD.由BADABC90，得BCAD，又BCAD，所以EF綊BC，所以四边形BCEF是平行四边形，CEBF，又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB.(2)由已知得BAAD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，P(0，1，)，(1,0，)，(1,0,0)设M(x，y，z)(0x1)，则(x1，y，z)，(x，y1，z)因为BM与底面ABCD所成的角为45，而n(0,0,1)是底面ABCD的法向量，所以|cos，n|sin 45，即(x1)2y2z20.又M在棱PC上，设，则x，y1，z.由解得(舍去)，或所以M，从而.设m(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则即所以可取m(0，2)于是cosm，n.由图知二面角MABD为锐角，因此二面角MABD的余弦值为.
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