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专题一 平抛与圆周主题深化提升考点一运动的合成与分解运动的合成与分解的思路(1)先确定合运动,即物体的实际运动。(2)然后分析这个合运动所产生的实际效果,从而确定两个分运动的方向。(3)作出速度(或位移、加速度)分解的示意图,即根据平行四边形定则,作出合运动与分运动相关联的平行四边形。(4)利用三角形、三角函数等数学知识求解。【对点训练】(2018鹰潭高一检测)如图所示,甲、乙两船在同一条河流中同时渡河,河的宽度为L,河水流速为u,划船速度均为v,出发时两船相距2L,甲、乙船头均与岸边成60角,且乙船恰好能直达正对岸的A点,则下列判断正确的是A.甲船在A点左侧靠岸B.两船可能在未到达对岸前相遇C.甲、乙两船到达对岸的时间不相等D.甲船也在A点靠岸【解析】选A。乙船恰好能直达正对岸的A点,根据速度合成与分解,知v=2u。将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向,在垂直于河岸方向上的分速度相等,知甲、乙两船到达对岸的时间相等。渡河的时间t=Lvsin60,故C项错误;甲船沿河岸方向上的位移x=(vcos 60+u)t=233L2L。知甲船在A点左侧靠岸,不可能在未到对岸前相遇,A项正确,B、D项错误。【补偿训练】1.(多选)(2018邵阳高一检测)有a、b两个分运动,它们的合运动为c,则下列说法正确的是()A.若a、b的轨迹为直线,则c的轨迹必为直线B.若c的轨迹为直线,则a、b必为匀速运动C.若a为匀速直线运动,b为匀速直线运动,则c必为匀速直线运动D.若a、b均为初速度为零的匀变速直线运动,则c必为匀变速直线运动【解析】选C、D。a、b的轨迹为直线,则c的轨迹不一定是直线,比如:一是匀速直线运动,另一是匀加速直线运动,则合运动是曲线运动,故A项错误;若c的轨迹为直线,则a、b不一定是匀速直线运动,当两运动的合加速度与合速度共线时,则合运动就是直线运动,故B项错误;若两个分运动是匀速直线运动,因两物体的加速度为零,故物体沿合速度的方向做匀速直线运动,故C项正确;若两物体做初速度为零的匀变速直线运动,则合速度与合加速度的方向一定在同一直线上,则物体一定做匀变速直线运动,故D项正确。2.(多选)(2018南昌高一检测)如图所示,一轻质细绳一端拴着物体A,另一端跨过光滑的定滑轮O,轻绳上有一结点B。现用一外力以速率v匀速拉动细绳,使物体A在水平面上向右运动,当细绳与水平面间夹角为30时,结点B刚好在绳OA段中点。则该时刻()A.物体A的速度大小为32vB.物体A的速度大小为233vC.结点B的速度大小为394vD.结点B的速度大小为396v【解析】选B、D。A的速度水平向右,A 沿绳方向的分速度为v,则有:vAcos 30=v,解得:vA=233v,故A项错误,B项正确;A、B两点沿绳方向速度相等,都为v,垂直于绳方向的速度v=r,由于rA=2rB,则vA=2vB,而vAsin30=vA,所以vA=33v,而vB=36v,vB=v2+vB2=396v,故C项错误,D项正确。考点二平抛运动的分析方法1.利用平抛运动的时间特点解题:平抛运动可分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,只要抛出的时间相同,下落的高度和竖直分速度就相同。2.利用平抛运动的偏转角解题:设平抛物体下落高度为h,水平位移为x时,速度vA与初速度v0的夹角为,由图可得tan =vyvx=gtv0=gxv02将vA反向延长与AA相交于O点,设AO=d,则有tan =hd=12g(xv0)2d解得d=12xtan =2hx=2tan 其中为位移sA与水平方向的夹角。两式揭示了偏转角和其他各物理量的关系,是平抛运动的一个规律,运用这个规律能巧解平抛运动问题。3.利用平抛运动的轨迹解题:平抛运动的轨迹是一条抛物线,已知抛物线上的任一段,就可求出水平初速度和抛出点。如图所示为某小球做平抛运动的一段轨迹,在轨迹上任取两点A和B,分别过A点作竖直线,过B点作水平线相交于C点,然后过BC的中点D作垂线交轨迹于E点,过E点再作水平线交AC于F点,小球经过AE和EB的时间相等,设为单位时间T。T=sg=y2-y1gv0=EFT=EFgy2-y1小球在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动,在连续相等的时间内满足h1h2h3=135,因此,只要求出y2y1的值,就可以知道AE和EB是在哪个单位时间段内。【对点训练】(多选) (2018牡丹江高一检测)一小球从A点做自由落体运动,另一小球从B点做平抛运动,两小球恰好同时到达C点,已知AC高为h,两小球在C点相遇前瞬间速度大小相等,方向成60夹角,g取10 m/s2。由以上条件可求()A.A、B两小球到达C点所用时间之比为12B.做平抛运动的小球初速度大小为3gh2C.A、B两点的高度差为3h4D.A、B两点的水平距离为32h【解析】选B、C、D。小球从A点做自由落体运动,下降h过程所用时间为:tAC=2hg,末速度为:v=2gh,故平抛运动的末速度大小为:v=2gh,与竖直方向成60夹角;故平抛运动小球的初速度为:v0=vsin 60=2gh32=32gh,竖直分速度为:vy=vcos 60=12gh,由vy=gtBC,得tBC=h2g,故tACtBC=21,故A项错误,B项正确;平抛的竖直分位移为:h=vy22g=14h,故A、B两点的高度差为:h=h-14h=34h,A、B两点的水平距离为:x=v0tBC=32h,故C、D项正确。【补偿训练】1. (2018镇江高一检测)如图所示,某同学将一小球水平抛出,最后球落在了正前方小桶的左侧,不计空气阻力。为了能将小球抛进桶中,他可采取的办法是()A.保持抛出点高度不变,减小初速度大小B.保持抛出点高度不变,增大初速度大小C.保持初速度大小不变,降低抛出点高度D.减小初速度大小,同时降低抛出点高度【解析】选B。设小球平抛运动的初速度为v0,抛出点的高度为h,水平位移为x,则平抛运动的时间为:t=2hg,水平位移为:x=v0t=v02hg。由上式分析可知,要增大水平位移x,可保持抛出点高度h不变,增大初速度v0,故B项正确,A项错误;由上式分析可知,要增大水平位移x,可保持初速度v0大小不变,增大抛出点高度h,故C、D项错误。2. (2018石家庄高一检测)如图所示,A、B两质点从同一点O分别以相同的水平速度v0沿x轴正方向抛出,A在竖直平面内运动,落地点为P1;B沿光滑斜面运动,落地点为P2,P1和P2在同一水平面上,不计阻力,则下列说法正确的是()A.A、B的运动时间相同B.A、B沿x轴方向的位移相同C.A、B运动过程中的加速度大小相同D.A、B落地时速度大小相同【解析】选D。A质点做平抛运动,根据平抛规律得A运动时间为:t=2hg,B质点视为在光滑斜面上的类平抛运动,其加速度为gsin ,B运动时间为:t= 2hgsin,故A项错误;A、B沿x轴方向都做水平速度相等的匀速直线运动,由于运动时间不等,所以沿x轴方向的位移大小不同,故B项错误;A、B运动过程中的加速度大小分别是g和gsin ,故C项错误;根据动能定理得A、B运动过程中:mgh=12mv2-12mv02,解得:v=2gh+v02,故D项正确。考点三圆周运动中的临界极值问题1.临界极值问题的关键词:(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程存在着临界点。(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述的过程存在着“起止点”,而这些起止点往往就对应着临界状态。(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程存在着极值,这个极值点也往往对应着临界状态。2.临界极值问题分类分析:(1)与弹力有关的临界极值问题。物体在相互接触的过程中,有挤压才会有形变,产生弹力。弹力的大小又会随挤压造成的形变程度不同而发生变化。物体与接触面分离的临界条件为弹力N=0。绳子的临界问题有两类:一类是绳子中的拉力达到最大,恰好不断;另一类是绳子恰好绷直,绳子中的拉力F=0。(2)与摩擦力有关的临界极值问题:物体相互摩擦中,由于外力或速度变化,可能会改变静摩擦力的大小、方向,经常会出现静、动摩擦的转换或静、动摩擦力方向的突变,因此解答摩擦习题要注意临界条件,发生相对滑动时静摩擦力达到最大。3.选择物理规律:当确定了物体运动的临界状态和临界条件后,得出物理量的临界值,比较物理量的大小与临界值的关系,确定物体的运动状态,选择相对应的物理规律,列方程求解。【对点训练】(多选)A、B、C 三个小物块放在旋转圆台上,最大静摩擦力均为重力的倍,A的质量为2m,B、C质量为m,C离轴为2R,A、B离轴为R,则当圆台旋转时(设A、B、C都没有滑动,如图所示)A.C的向心加速度最大B.B所受的静摩擦力最小C.当圆台转速增加时,C比A先滑动D.当圆台转速增加时,B比A先滑动【解析】选A、B、C。三个小物块转动的角速度相等,根据a=r2知,C的半径大,则C的向心加速度最大,故A项正确;根据静摩擦力提供向心力,得:A所受的摩擦力 fA=2mR2=2mR2,B所受的摩擦力 fB=mR2,C所受的摩擦力为fC= m2R2=2mR2,可知A、C所受的摩擦力大小相等,B物块的静摩擦力最小,故B项正确;根据mg=mr2,发生相对滑动的临界角速度=gr,A、B的半径相同,则一起滑动,C的半径大,临界角速度小,则当圆台转速增加时,C最先滑动,故C项正确,D项错误。【补偿训练】1. (2018和平区高一检测)如图,竖直环A半径为r,固定在木板B上,木板B放在水平地面上,B的左右两侧各有一挡板固定在地上,B不能左右运动,在环的最低点静放有一小球C,A、B、C的质量均为m,现给小球一水平向右的瞬时速度v,小球会在环内侧做圆周运动,为保证小球能通过环的最高点,且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环的摩擦阻力),小球在最高点的瞬时速度必须满足()A.最大值grB.最大值2grC.最大值3grD.最大值2gr【解析】选C。考虑恰好不跳起的临界情况,对球分析,根据牛顿第二定律,有:N+mg=mv12r,其中:N=2mg,联立解得:v1=3gr,故A、B、D项错误,C项正确。2.如图所示,半径为l4、质量为m的小球用两根不可伸长的轻绳a、b连接,两轻绳的另一端系在一根竖直杆的A、B两点上,A、B两点相距为l,当两轻绳伸直后,A、B两点到球心的距离均为l。当竖直杆以自己为轴转动并达到稳定时(细绳a、b与杆在同一竖直平面内)。求:(计算结果可以带根号,g不要带具体值。)(1)竖直杆角速度为多大时,小球恰离开竖直杆。(2)至少达到多少时b轻绳伸直开始有拉力。【解析】(1)小球恰离开竖直杆时,小球与竖直杆间的作用力为零,此时轻绳a与竖直杆间的夹角为,由题意可知sin=14,r=l4沿半径:Fasin=m2r垂直半径:Facos=mg联立解得=2g15l(2)角速度增大,轻绳b拉直后,小球做圆周运动的半径为r=lsin60沿半径:Fasin60=m2r垂直半径:Facos60=mg联立解得2gl答案:(1)2g15l(2)2gl考点平抛运动与圆周运动的综合应用圆周与平抛运动问题的思维流程(1)单个质点的连续运动的思维流程。(2)质点和圆盘的独立运动的思维流程。【对点训练】1.如图所示,用细线把小球悬挂在墙壁的钉子O上,小球绕悬点O在竖直平面内做圆周运动。小球质量为2 kg,绳长L为0.8 m,悬点距地面高度为1.6 m。小球运动至最低点时,细线恰好被拉断,小球着地时速度与水平面成45角,当地重力加速度为10 m/s2。求:(1)细线刚被拉断时,小球的速度多大?(2)细线所能承受的最大拉力。【解析】(1)细线被拉断后小球做平抛运动,竖直方向有vy2=2g(H-L)得 vy=2g(H-L)=210(1.6-0.8) m/s=4 m/s小球着地时速度与水平面成45角,据平行四边形定则得:v0=vy=4 m/s所以细线刚被拉断时,小球的速度为4 m/s。(2)在最低点,以小球为研究对象,根据牛顿第二定律得:F-mg=mv02L解得:F=m(g+v02L)=2(10+420.8) N=60 N。答案:(1)4 m/s(2)60 N2.如图所示,水平放置的正方形光滑玻璃板abcd,边长为L,距地面的高度为H,玻璃板正中间有一个光滑的小孔O,一根细线穿过小孔,两端分别系着小球A和小物块B,当小球A以速度v在玻璃板上绕O点做匀速圆周运动时,AO间的距离为r。已知A的质量为mA,重力加速度为g。(1)求小球的角速度。(2)求小物块B的质量mB。(3)当小球速度方向平行于玻璃板ad边时,剪断细线,则小球落地前瞬间的速度多大?【解析】(1)根据公式:v=r所以:=vr(2)以B为研究对象,根据平衡条件:T=mBg以A为研究对象,根据牛顿第二定律:mBg=mAv2r得:mB=mAv2gr(3)A下落过程中,根据机械能守恒定律:12mAv2+mAgH=12mAv2,解得:v=v2+2gH答案:(1)vr(2)mAv2gr(3)v2+2gH3.如图所示,小球在外力作用下,由静止开始从A点出发做匀加速直线运动,到B点时撤去外力,然后小球冲上竖直平面内半径为R的光滑半圆环,恰能维持在圆环上做圆周运动通过最高点C,到达最高点C后抛出,最后落回到原来的出发点A处。试求:(1)小球运动到C点时的速度。(2)A、B之间的距离。【解析】(1)小球恰好经过C点,在C点重力提供向心力,则有mg=mvC2R解得:vC=gR(2)小球从C到A做平抛运动,则有:2R=12gt2解得:t=22Rg=4Rg则A、B之间的距离x=vCt=gR4Rg=2R答案:(1)gR(2)2R
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