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长阳一中20182019学年度第一学期期中考试高二数学（理科）试卷考试时间：120分钟试卷总分：150分一、 选择题1为了适应新高考改革，尽快推行不分文理教学，对比学生考试情况，采用分层抽样的方法从文科生900人，理科生1800人，教师人中抽取150人进行问卷分析，已知文科生抽取的人数为45人，那么教师被抽取的人数为（ ）A12人 B15人 C21人 D24人2已知命题：，则 （ ） A. B. C. D. 3. 是直线与直线垂直的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D非充分也非必要条件4设是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是 ( )A BC D5棱长分别为2、的长方体的外接球的表面积为（ ）A B C D6. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的为 （ ）A B C D7.已知，均为正实数，且直线与直线互相平行，则的最大值为（ ） A 1 B C D 8.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（ ）A B C D9已知P是ABC所在平面内一点，现将一粒红豆随机撒在ABC内，则红豆落在PBC内的概率是（ ）A B C D10直线与相交于A，B两点，则的值为 （ ）A B C D11如图在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为 ( ) CABDA1B1C1D1PEF A B C D 12. 在棱长为1的正方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 二、填空题13为了解某地区某种农产品的年产量（单位：吨）对价格（单位：千元/吨）的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：123457.06.53.82.2已知和具有线性相关关系，且回归方程为，那么表中的值为 14右图是一个几何体的三视图，侧(左）视图是一个等边三角形，根据图中尺寸(单位：cm),可知这个几何体的体积是 ；15锐角A为60，边长为a的菱形ABCD沿BD折成60的二面角， 则A与C之间的距离为 ；16.过圆内一点作两条相互垂直的弦AB和CD, 则四边形ACBD的面积的最大值为_ 三、解答题17(本题满分10分) 2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的环境空气质量标准,其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：（1）试确定的值，并写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；（2）完成相应的频率分布直方图.（3）求出样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由.18. (本题满分12分)已知命题对，不等式恒成立；命题,使不等式成立;若是真命题，是假命题，求的取值范围.19(本题满分12分) 设关于x的一元二次方程x+2ax+b=0，（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率.（2）若a是从区间0， 3中任取的一个数，b是从区间0， 2中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率.FPEADCB第20题图20（本题满分12分）如图，四棱锥的底面为菱形，平面，分别为的中点，（1）求证：平面平面（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值21(本题满分12分)）已知：以点为圆心的圆与轴交于点,，与y轴交于点,，其中为原点（1）求证：的面积为定值；（2）设直线与圆交于点,，若，求圆的方程22（本题满分12分）在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆的方程为：，以为圆心的圆的方程为： （1）若过点的直线沿轴向左平移3个单位，沿轴向下平移4个单位后，回到原来的位置，求直线被圆截得的弦长；（2）圆是以1为半径，圆心在圆：上移动的动圆 ，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的取值范围 。长阳一中20182019学年度第一学期期中考试高二理科数学（答案）一、选择题15 BBACB 610 BCDCD 1112 BA二、填空题13. 5.5 14. 15. 16. 19 三、解答题17. (1)，众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米. 4分(2）其频率分布直方图如图所示： 7分(3)样本平均数为因为，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进. 10分18. 解：若是真命题，则； 3分若Q是真命题则 6分由题意知、一真一假。若真假，则，若假真，则， 11分故的取值范围是 12分 19.解. （1）设事件A表示x+2ax+b=0，有实数根，当a0，b0时，方程x+2ax+b=0有实数根的充要条件是（2a）-4b0得ab 3分基本事件有12个（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，事件A包含有9个基本事件（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）事件A发生的概率为P（A）= 6分 （2）实验的全部结果所构成的区域为构成事件A的区域为所求的概率为P= 12分20证明：（1）四边形是菱形，在中，即又， 2分平面，平面，又，平面， 4分又平面，平面平面 5分（2）由（1）知平面，而平面，平面平面 6分平面，由（1）知，又平面，又平面，平面平面8分平面是平面与平面的公垂面所以，就是平面与平面所成的锐二面角的平面角10分在中，即又，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 12分21.解：（1）， 设圆的方程是 ， ，得；令，得 ，即：的面积为定值6分 （2）垂直平分线段 ，直线的方程是 ，解得， 当时，圆心的坐标为，此时到直线的距离，圆与直线相交于两点当时，圆心的坐标为，此时到直线的距离, 圆与直线不相交，不符合题意舍去圆的方程为 12分22.解：（1）设直线的方程为，向左平移3个单位，向下平移4个单位后得：依题意得即；所以 3分所以圆心到的距离为所以被截得弦长为 . 6分（2）动圆D是圆心在定圆上移动，半径为1的圆D P P F C1 E O x y 设，则在中，有,则由圆的几何性质得，即， 则的最大值为，最小值为. 故. .12分
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