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第2课时 集合间的基本关系【双向目标】课程目标学科素养A了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.B理解子集.真子集的概念C.能使用图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.a数学抽象：对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解b逻辑推理：集合的子集的辨析与应用c数学运算：对给出的集合会计算子集与真子集d直观想象：利用图表示集合相等以及集合间的关系e数学建模：通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义【课标知识】知识提炼基础过关知识1：子集有关的概念 （1）定义:对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集.（2）记法:(或),读作“A包含与B”(或“B包含A”).（3）韦恩图表示，图1所示: 知识2：集合相等（1）定义:如果集合A是集合B的子集(AB),且集合B是集合A的子集(BA),此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等.（2）记法:A=B.（3）韦恩图表示，图2所示: 知识3：真子集有关的概念（1） 定义:如果集合,但存在元素xB,且xA，我们称集合A是集合B的真子集.（2）记法:(或).（3）韦恩图表示，图3所示: 知识4：空集有关的概念（1）定义:不含任何元素的集合叫做空集.（2）记法:. （3）规定：空集是任何集合的子集知识5：集合间关系具有的性质 （1）规定:空集是任何集合的子集.（2）任何一个集合是它本身的子集,即AA.（3）对于集合A,B,C,若AB,且BC,则AC.（4）对于集合A,B,C,若A B,且B C,则AC.（5）AB,且AB,则AB.1.已知集合A=1,2,3,试写出A的所有子集2.同时满足：M1,2,3,4,5；aM，则6aM的非空集合M有( )A6个 B7个 C15个 D16个3.已知集合Ax|ax22xa0，aR，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是( )A1 B1C0,1 D1,0,14.设集合A=x|x=2k+1,kZ,B=x|x=2k-1,kZ,则集合A,B间的关系为( ) A.A=B B.AB C.BA D.以上都不对 5.，若，则的取值集合为（ ）A.B.ZC. D.6.已知集合A=x|x4,B=x|2axa+3,若BA,求实数a的取值范围. 7.下列说法：空集没有子集；任何集合至少有两个子集；空集是任何集合的真子集；若A，则A，其中正确的个数是( )A0 B1 C2 D38.下列关系正确的是( )A.3y|y=x2+,xR B.(a,b)=(b,a)C.(x,y)|x2-y2=1(x,y)|(x2-y2)2=1 D.xR|x2-2=0= 基础过关参考答案： 3.【解析】因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax22xa0(a)仅有一个根或两个相等的根(1)当a0时,方程为2x0，此时A0，符合题意(2)当a0时，由224aa0，即a21，a1.此时A1或A1，符合题意a0或a1.4.【解析】选A.因为A,B中的元素显然都是奇数,所以A,B都是由所有奇数构成的集合.故A=B5. 【解析】 （1）（2）（3） 的取值集合为 【能力素养】探究一 子集与真子集的求法例1：写出集合a，b，c的所有不同的子集【分析】根据子集的含义进行求解【解析】不含任何元素子集为，只含1个元素的子集为a，b，c，含有2个元素的子集有a，b，a，c，b，c，含有3个元素的子集为a，b，c，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n个元素的集合共有2n个不同的子集.【点评】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a起，a与每个元素搭配有a，b，a，c，然后不看a，再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：和它本身.【变式训练】1. 已知，则这样的集合有 个.【解析】集合A可以为a,b,a,b,c,a,b,d,a,b,e,a,b,c,d,a,b,c,e,a,b,d,e【答案】7个2.已知集合A=1，2，3，平面内以（x，y）为坐标的点集合B=（x，y）xA，yA，x+yA，则B的子集个数为（ ）A3 B4 C7 D8【解析】 集合A=1，2，3，平面内以（x，y）为坐标的点集合B=（x，y）xA，yA，x+yA，B=（1，1），（1，2），（2，1）B的子集个数为：23=8个【答案】D探究二 集合间的关系例2. 集合，集合，那么间的关系是（ ）. A. B. C. = D.以上都不对 【分析】根据集合间的关系进行判断. 【点评】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）.【变式训练】1.若集合，则（ ）.A. B. C. = D. 【解析】因为A,B中的元素显然都是奇数,所以A,B都是由所有奇数构成的集合.故A=B【答案】C2.设M=x|x=a2+1，aN+，N=x|x=b2-4b+5，bN+，则M与N满足( )A. M=N B. MN C. NM D. M N【解析】 当aN+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当bN+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B. 【答案】B探究三 集合间关系具有的性质例3：已知若M=N，则= A200 B200 C100 D0【分析】解答本题应从集合的概念、表示及关系入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性 由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|，|x|=0或|x|=1若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立若|x|=1即x=1当x=1时，M中元素|x|与x相同，破坏了M中元素互异性，故 x1当x=-1时，M=-1，1，0，N=0，1，-1符合题意，综上可知，x=y=-1=-2+2-2+2+2=0【答案】0【点评】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点【变式训练】1设a，bR，集合，则b-a=( ) 【答案】22集合A=x|y=x2+1，B=y|y=x2+1，C=(x,y)|y=x2+1，D=y=x2+1是否表示同一集合？【解析】集合A=x|y=x2+1的代表元素为x，故集合A表示的是函数y=x2+1中自变量x的取值范围，即函数的定义域A=；集合B=y|y=x2+1的代表元素为y，故集合B表示的是函数y=x2+1中函数值y的取值范围，即函数的值域B=；集合C=(x,y)|y=x2+1的代表元素为点（x，y），故集合C表示的是抛物线y=x2+1上的所有点组成的集合；集合D=y=x2+1是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程y=x2+1【答案】都不相同【课时作业】课标 素养数学抽象逻辑推理数学运算直观想象数学建模数据分析A3,108B92,5,7,113,4,6,12,13,14,15C1一、选择题1.已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是 （ ） 2.已知集合，则满足条件的集合C的个数为 （ ）A1 B2 C3 D43.设M=x|x=a2+1，aN+，N=x|x=b2-4b+5，bN+，则M与N满足( )A. M=N B. MN C. NM D. M N4.已知集合Ax|x210，则有( )A1A B0A CA D0A5.集合的所有真子集个数为( )A3 B 7 C15 D316.同时满足：M1,2,3,4,5；aM，则6aM的非空集合M有( )A6个 B7个 C15个 D16个7.已知集合Px|x21，Qx|ax1，若QP，则a的值是( )A1 B1C1或1 D0,1或18.设，若则的取值范围是（ ）A B C D.9.已知集合Ax|1x14，B(，a)，若AB，则实数a的取值范围是(c，)，其中c_.10.用适当的符号填空：（1） ；（2） ；（3） .11.已知集合A1,3,2m1，集合B3，m2，若BA，则实数m_.12.设A是非空集合，对于kA，如果，那么称集合A为“和谐集”，在集合的所有非空子集中，是和谐集的集合的个数为 13.已知Ax|x3，Bx|xa(1)若BA，求a的取值范围；(2)若AB，求a的取值范围14.若集合Mx|x2x60，Nx|(x2)(xa)0，且NM，求实数a的值15.已知全集,集合R，；若时，存在集合M使得，求出这样的集合M； 1.【解析】由，得，则,选B【答案】B 【答案】D3.【解析】当aN+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当bN+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B.【答案】B4.【解析】由已知，A1，1，所以选项A，B，D都错误，因为是任何非空集合的真子集，所以C正确 【答案】C5.【解析】，所以，真子集的个数为15个【答案】C6.【解析】a3时，6a3；a1时，6a5；a2时，6a4；a4时，6a2；a5时，6a1，非空集合M可能是：3，1,5，2,4，1,3,5，2,3,4，1,2,4,5，1,2,3,4,5共7个.故选B【答案】B 【答案】510.【解析】（1） ；（2） ；（3） .【答案】（1） ；（2） ；（3） .11.【解析】，即，当时，满足【答案】112.【解析】由和谐集的定义知，该集合中可以含有元素-1，1，和3，和2，所以共有和谐集的集合的个数为15个【答案】1513.【解析】(1)因为BA，B是A的子集，由图(1)得a3. (1)(2)因为AB，A是B的子集，由图 (2)得a3. (2)【答案】（1）a3（2）a314.【解析】由得或，因此若a=2时，则，此时若a=-3时，则，此时若，则，此时N不是M的子集
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