逻辑函数及其简化.ppt

第2章逻辑函数及其简化2 1逻辑代数2 2逻辑函数的简化 逻辑代数 逻辑代数是英国数学家乔治 布尔 Geroge Boole 于1849年首先进行系统论述的 也称布尔代数 由于被用在开关电路的分析和设计上 所以又称开关代数 逻辑代数中的变量称为逻辑变量 用大写字母表示 逻辑变量的取值只有两种 即逻辑0和逻辑1 0和1并不表示数值的大小 而是表示两种对立的逻辑状态 功能描述方法有 1 真值表 即将自变量和因变量 输入变量和输出变量 的所有组合对应的值全部列出来形成的表格 2 逻辑符号 用规定的图形符号来表示 逻辑运算 两个表示不同逻辑状态的二进制数码之间按照某种因果关系进行的运算 一 概述 二 基本逻辑运算 1 与运算 逻辑乘 AND 只有决定事件结果的全部条件同时具备时 结果才发生 1表示开关闭合 灯亮0表示开关断开 灯不亮 与运算符 也有用 表示 与逻辑功能口诀 有 0 出 0 全 1 出 1 2 或运算 逻辑加 OR 决定事件结果的诸条件中只要有任何一个满足 结果就会发生 1表示开关闭合 灯亮0表示开关断开 灯不亮 或运算符 也可用 表示 或逻辑功能口诀 有 1 出 1 全 0 出 0 3 非运算 逻辑反 NOT 只要条件具备了 结果就不会发生 而条件不具备时 结果一定发生 1表示开关闭合 灯亮0表示开关断开 灯不亮 非逻辑运算符 三 复合逻辑运算 1 与非运算 NAND 与非逻辑功能口诀 有 0 出 1 全 1 出 0 或非逻辑功能口诀 有 1 出 0 全 0 出 1 2 或非运算 NOR 与或非门逻辑符号 3 与或非运算 AND OR NOT 异或逻辑功能口诀 同为 0 异为 1 4 异或运算 XOR 同或逻辑功能口诀 同为 1 异为 0 5 同或运算 XNOR 异或与同或互为反运算 逻辑代数的基本定律和规则 一 逻辑代数的基本定律 0 1律 重叠律 互补律 还原律 分配律 结合律 交换律 反演律 吸收律 冗余律 在两个乘积项中 若有一个变量是互反的 那么由这两个乘积项中的其它变量组成的乘积项就是多余的 可以消去 公式可推广 求证 A BC A B A C 证明 右边 AA AB AC BC 分配律 A A B C BC 分配律 重叠律 A 1 B C BC 分配律 A 1 BC 0 1律 A BC 0 1律 左边 证明 右边 AA AB AC BC 分配律 A A B C BC 分配律 A BC 吸收律 例 用真值表证明反演律 0001011 0111 1000 1100 1010 1000 证明 分配律 分配律 0 1律 右边 证明 二 逻辑代数的基本规则 1 代入规则 任何一个含有某变量的等式 如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式 则此等式依然成立 得 由此反演律能推广到n个变量 利用反演律 2 反演规则 对于任意一个逻辑函数式F 做如下处理 运算符 与 互换 与 互换 常量 0 换成 1 1 换成 0 原变量换成反变量 反变量换成原变量 那么得到的新函数式称为原函数式F的反函数式 法1 利用反演规则直接得到 法2 利用反演律 3 对偶规则 对于任意一个逻辑函数式F 做如下处理 运算符 与 互换 与 互换 常量 0 换成 1 1 换成 0 那么得到的新函数式称为原函数式F的对偶式F 对偶规则 若两逻辑式相等 则它们对应的对偶式也相等 即若F1 F2 则F1 F2 注意 运算顺序不变 只变换运算符和常量 其变量是不变的 如 逻辑函数及其描述方法 逻辑函数与普通代数中的函数相似 它是随自变量的变化而变化的因变量 因此 如果用自变量和因变量分别表示某一事件发生的条件和结果 那么该事件的因果关系就可以用逻辑函数来描述 数字电路的输入 输出量一般用高 低电平来表示 高 低电平也可以用二值逻辑1和0来表示 同时数字电路的输出与输入之间的关系是一种因果关系 因此它可以用逻辑函数来描述 并称为逻辑电路 对于任何一个电路 若输入逻辑变量A B C 的取值确定后 其输出逻辑变量F的值也被惟一地确定了 则可以称F是A B C 的逻辑函数 并记为 逻辑函数 逻辑函数的描述 一 真值表描述 A B C 输入变量Y 输出变量1表示开关闭合 灯亮0表示开关断开 灯不亮 二 逻辑式描述 1 一般形式 任何一个逻辑函数式都可以通过逻辑变换写成以下五种形式 分析得 2 逻辑式两种标准形式 1 最小项之和式 标准与或式 在n变量逻辑函数中 由所有n个变量以原变量或反变量的形式出现一次而组成的乘积项 与项 最小项 Minterm n变量逻辑函数的最小项有2n个 最小项通常用符号mi来表示 下标i的确定 把最小项中的原变量记为1 反变量记为0 当变量顺序确定后 按顺序排列成一个二进制数 则与这个二进制数相对应的十进制数 就是这个最小项的下标i 在一个与或逻辑式中 若所有的乘积项均为最小项 则该逻辑式称为最小项之和式 只有一种输入组合使对应的最小项为1 而其他的组合都使它为0 例 写出的最小项之和式 最小项之和式为 解 2 最大项之积式 标准或与式 在n变量逻辑函数中 由所有n个变量以原变量或反变量的形式出现一次而组成的或项 和项 最大项 Maxterm n变量逻辑函数的最大项有2n个 最大项通常用符号Mi来表示 下标i的确定 把最大项中的原变量记为0 反变量记为1 当变量顺序确定后 按顺序排列成一个二进制数 则与这个二进制数相对应的十进制数 就是这个最大项的下标i 在一个或与逻辑式中 若所有的或项均为最大项 则该逻辑式称为最大项之积式 三变量逻辑函数的最大项 只有一种输入组合使对应的最大项为0 而其他的组合都使它为1 3 最小项和最大项的性质 n变量的全部最小项之和恒为1 全部最大项的之积恒为0 任意两个最小项之积恒为0 任意两个最大项之和恒等于1 n变量的每一个最小 大 项有n个相邻项 相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量 其余因子均相同 又称为逻辑相邻项 若给定 则 4 最小项和最大项的关系 互为反函数 则 求反函数 求对偶式 求最大项之积式 解 例 写出的最大项之积式 解 已知 则 三 卡诺图描述 将n变量的全部最小项各用一个小方块表示 并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来 所得到的图形叫做n变量的卡诺图 KarnaughMap 1 卡诺图的构成 AB 00 01 10 11 m0 m1 m2 m3 A B A B 1 0 1 0 m0 m1 m2 m3 mi AB 二变量K图 建立多于二变量的卡诺图 则每增加一个逻辑变量就以原卡诺图的右边线 或底线 为对称轴作一对称图形 对称轴左面 或上面 原数字前增加一个0 对称轴右面 或下面 原数字前增加一个1 卡诺图是上下 左右闭合的图形 几何相邻 一是相接 即紧挨着 二是相对 即任意一行或一列的两端 三是相重 即对折起来位置重合 三变量K图 四变量K图 2 卡诺图描述逻辑函数 给出真值表 将真值表的每一行的取值填入卡诺图即可 填入Y 1的项即可 例 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 给出逻辑函数的最小项之和式 标准与或式 将逻辑函数的最小项在卡诺图上相应的方格中填1 其余的方格填0 或不填 任何一个逻辑函数都等于其卡诺图上填1的那些最小项之和 例 用卡诺图分别描述下列逻辑函数 解 给出逻辑函数一般与或式 确定使每个与项为1的所有输入变量取值 并在卡诺图上对应方格填1 其余的方格填0 或不填 也可化为标准与或式 再填入 例 用卡诺图分别描述下列逻辑函数 A BC 0 1 00 01 11 10 1 1 1 1 1 解 A 当ABC 1 表示可以为0 也可以为1 时该与项为1 在卡诺图上对应四个方格 m4 m5 m6 m7 处填1 当ABC 10时该与项为1 在卡诺图上对应两个方格 m2 m6 处填1 00 01 11 10 00 01 11 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AB CD D 当ABCD 1时该与项为1 对应八个方格 m1 m3 m5 m7 m9 m11 m13 m15 处填1 当ABCD 001 时该与项为1 对应两个方格 m2 m3 处填1 当ABCD 101 时该与项为1 在卡诺图上对应两个方格 m10 m11 处填1 解 AD 当ABCD 1 1时该与项为1 对应四个方格 m9 m11 m13 m15 处填1 某些最小项重复 只需填一次即可 给出逻辑函数的最大项之积式 标准或与式 将逻辑函数的最大项在卡诺图上相应的方格中填0 或不填 其余的方格填1 任何一个逻辑函数都等于其卡诺图上填1的那些最大项之积 例 用卡诺图描述逻辑函数 解 给出逻辑函数一般或与式 确定使每个或项为0的所有输入变量取值 并在卡诺图上对应方格填0 其余的方格填1 也可化为标准或与式 再填入 例 用卡诺图分别描述逻辑函数 A BC 0 1 00 01 11 10 0 0 0 0 1 0 1 1 解 A 当ABC 0 表示可以为0 也可以为1 时该或项为0 在卡诺图上对应四个方格 m0 m1 m2 m3 处填0 当ABC 01时该与项为0 在卡诺图上对应两个方格 m1 m5 处填0 四 逻辑图描述 将逻辑函数中各变量之间的与 或 非等逻辑关系用图形符号表示出来 就可画出表示函数关系的逻辑图 例 用逻辑图描述函数 1 从真值表 卡诺图列出逻辑函数式 找出真值表和卡诺图中取值为 1 的最小项 各与项相或 即得与或逻辑函数式 五 各种描述方法间的相互转换 例 2 从逻辑函数式列出真值表 3 从逻辑函数式画出逻辑图 用图形符号代替逻辑式中的运算符号 例 用逻辑图描述逻辑函数 4 由逻辑图列出逻辑函数式 从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式 即可得到对应的逻辑式 例 逻辑函数的化简 同一个逻辑函数可以写成不同形式的逻辑式 逻辑函数式越简单 它所表示的逻辑关系越明显 也有利于用最少的电子器件实现这个逻辑函数 最简 与或 式的标准 含的与项最少 门最少 各与项中的变量数最少 门的输入端最少 以后主要讨论 与或 式的化简 其中 最常用的为 与或 逻辑表达式 一 代数化简法 1 并项法 例 用并项法化简下列逻辑函数 解 解 解 2 吸收法 消项法 例 用吸收法化简下列逻辑函数 解 3 消元法 例 用消元法化简下列逻辑函数 解 4 配项法 例 用配项法化简下列逻辑函数 解 解 解 解法1 解法2 代数化简法优点 不受变量数目的限制 缺点 没有固定的步骤可循 需要熟练运用各种公式和定理 在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需要一定的技巧和经验 有时很难判定化简结果是否最简 由上例可知 逻辑函数的化简结果不是唯一的 二 卡诺图化简法 在卡诺图中 凡是几何位置相邻的最小项均可以合并 任何一个合并圈 即卡诺圈 所含的方格数为2n个 必须按照相邻规则画卡诺圈 几何位置相邻包括三种情况 一是相接 即紧挨着的方格相邻 二是相对 即一行 或一列 的两头 两边 四角相邻 三是相重 即以对称轴为中心对折起来重合的位置相邻 2n个方格合并 消去n个变量 1 卡诺图中最小项合并规律 2 用卡诺图化简逻辑函数 画出逻辑函数的卡诺图 圈 1 合并相邻的最小项 将每一个圈对应的与项相或 即得到最简与或式 尽量画大圈 但每个圈内只能含有2n n 0 1 2 3 个相邻项 要特别注意对边相邻性和四角相邻性 圈的个数尽量少 卡诺图中所有取值为 1 的方格均要被圈过 即不能漏下取值为 1 的最小项 保证每个圈中至少有一个 1格 只被圈过一次 否则该圈是多余的 画圈原则 1 最简与或式的求法 画出逻辑函数的卡诺图 圈 1 合并相邻的最小项 将每一个圈对应的与项相或 即得到最简与或式 例 用卡诺图将函数化为最简与或式 解 化简结果不唯一 例 用卡诺图将下面函数化为最简与或式 解 2 最简或与式的求法 画出逻辑函数的卡诺图 圈 0 合并相邻的最大项 将每一个圈对应的或项相与 即得到最简或与式 圈 0 合并与圈 1 合并类同 或项由K圈对应的没有变化的那些变量组成 当变量取值为 0 时写原变量 取值为 1 时写反变量 注意 例 用卡诺图将下面函数化为最简或与式 解 3 含有无关项的逻辑函数的化简 对应输出函数值没有确定值的最小项 最大值 称为无关项 任意项或约束项 函数值可以为1 也可以为0 记为 或 对于输入变量的每一组取值组合 逻辑函数都有确定的值 则这类逻辑函数称为完全描述的逻辑函数 对于输入变量的某些取值组合 逻辑函数值不确定 可以为1 也可以为0 这类逻辑函数称为非完全描述的逻辑函数 两种表示方式 对于最小项之和表示式为 对于最大项之积表示式为 含有无关项的逻辑函数 由于在无关项的相应取值下 函数值随意取成0或1都不影响函数原有的功能 因此可以充分利用这些无关项来化简逻辑函数 即采用卡诺图化简函数时 可以利用 或 来扩大卡诺圈 含有无关项的卡诺图化简 原则 需要时才用 不需要时不用 例 用卡诺图将函数化为最简与或式和最简或与式 解 例 某电路的输入ABCD是8421BCD码 当ABCD表示的十进制数不大于6时 电路输出Y为1 否则Y 0 写出最小项之和式 并用卡诺图求出其最简与或式和最简或与式 解 真值表 最小项之和表达式为 第2章小结 熟练掌握 与 或 非 与非 或非运算的口诀和逻辑符号逻辑代数的基本定律和3个基本规则逻辑函数的描述方法及四种方法间的转换逻辑函数的化简