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2017-2018学年陕西省榆林市高二（下）期中数学试卷（理科）选择题（本大题共12小题，共60分）1.1.复数在复平面上对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】试题分析：先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限解：复数=,复数对应的点的坐标是（）复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A考点：复数的实部和虚部点评：本题考查复数的实部和虚部的符号，是一个概念题，在解题时用到复数的加减乘除运算，是一个比较好的选择或填空题，可能出现在高考题的前几个题目中2.2.已知，是复数，以下四个结论正确的是若，则，若丨，则，若，则若，则向量与重合A. 仅正确 B. 仅正确 C. 正确 D. 仅正确【答案】A【解析】【分析】举例说明错误；由|z1|+|z2|=0，得|z1|=|z2|=0，从而得到z1=0，z2=0，说明正确【详解】若z1+z2=0，则z1=0，z2=0，错误，如z1=1，z2=1；若|z1|+|z2|=0，则|z1|=|z2|=0，z1=0，z2=0，故正确；若z1+z1=0，则z1=0，错误，如z1=i，z1=-i；若|z1|=|z2|，则向量Oz1与Oz2重合错误，如z1=1+i，z2=1i，满足|z1|=|z2|，但向量Oz1与Oz2不重合正确的结论是故选：A【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查复数的有关概念，属于基础题3.3.曲线y=ex在点A(0,1)处的切线斜率为（ ）A. 1 B. 2 C. D. 1e【答案】A【解析】试题分析：由y=ex，得到y=ex，把x=0代入得：y|x=0=1，则曲线y=ex在点A（0，1）处的切线斜率为1故选A考点：1直线的斜率；2导数的几何意义视频4.4.定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(i)1*1=1，(ii)(n+1)*1=n*1+1，则n*1等于A. n B. n+1 C. n-1 D. n2【答案】A【解析】【分析】根据定义中的运算法则，对（n+1）*1=n*1+1反复利用，即逐步改变“n”的值，直到得出运算结果【详解】1*1=1，（n+1）*1=n*1+1，（n+1）*1=n*1+1=（n1）*1+1+1=（n2）*1+3=n（n1）*1+n=1+n，n*1=n故选：A【点睛】本题题型是给出新的运算利用运算性质进行求值，主要抓住运算的本质，改变式子中字母的值再反复运算性质求出值，考查了观察能力和分析、解决问题的能力5.5.用反证法证明命题：“a,bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A. a,b 都能被5整除 B. a,b 都不能被5整除C. a,b不都能被5整除 D.不能被5整除【答案】B【解析】命题：“a,bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除的否定是a,b 都不能被5整除,故反证法假设的内容应为a,b 都不能被5整除,故选A.6.6.原命题为“若z1,z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）A. 真，假，真 B. 假，假，真 C. 真，真，假 D. 假，假，假【答案】B【解析】试题分析：设复数z1=a+bi，则z2=z1=abi，所以|z1|=|z2|=a2+b2，故原命题为真；逆命题：若|z1|=|z2|，则z1,z2互为共轭复数；如z1=3+4i，z2=4+3i，且|z1|=|z2|=5，但此时z1,z2不互为共轭复，故逆命题为假；否命题：若z1,z2不互为共轭复数，则|z1|z2|；如z1=3+4i，z2=4+3i，此时z1,z2不互为共轭复，但|z1|=|z2|=5，故否命题为假；原命题和逆否命题的真假相同，所以逆否命题为真；故选B.考点：命题以及命题的真假.7.7.用数学归纳法证明等式1+2+3+(n+3)=(n+3)(n+4)2 (n)时，第一步验证n=1时，左边应取的项是( )A. 1 B. 1+2 C. 1+2+3 D. 1+2+3+4【答案】D【解析】试题分析：因为1+3=4，所以左边应取的项是1+2+3+4.考点：本小题主要考查数学归纳法的应用.点评：应用数学归纳法时，一定要严格遵守步骤，验证第一步时要仔细.8.8.由曲线yx2，yx围成的封闭图形的面积为()A. 16 B. 13C. 23 D. 1【答案】B【解析】由曲线y=x和曲线y=x2可得交点坐标为(0,0),(1,1)，则曲线y=x和曲线y=x2围成的封闭图形的面积为S=01(xx2)dx=(23x3213x3)|01=2313=13，故选B.9.9.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 （ )A. 0,4) B. 4,2) C. (2,34 D. 34,)【答案】D【解析】试题分析：由题意，得y=4ex(ex+1)2=4ex+1ex+21,0)，所以34,)，故选D考点：1、导数的几何意义；2、直线的倾斜角10.10.已知zC，且|z|=1，则|z-2-2i|(i为虚数单位的最小值是A. 22-1 B. 22+1 C. 2 D. 22【答案】A【解析】【分析】利用复数|z|=1的几何意义即可求得|z22i|（i为虚数单位）的最小值利用复数|z|=1的几何意义即可求得|z22i|（i为虚数单位）的最小值【详解】|z|=1且zC，作图如图：|z22i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P（2，2）的距离，|z22i|的最小值为：|OP|1=221故选：A【点睛】本题考查复数求模，着重考查复数模的几何意义，考查作图、用图的能力，属于中档题11.11.函数fx=x33bx+3b在0,1内有极小值，则 （ ）A. 0b1 B. b0 D. b12【答案】A【解析】分析：该题考查的是有关函数极值的问题，该题等价于导数等于零对应的二次方程在相应区间上有较大的根，之后转化为一元二次方程根的分布问题来解决即可.详解：f(x)=3x23b，函数fx=x3-3bx+3b在0,1内有极小值，等价于方程3x23b=0在区间0,1上有较大根，即0b1，解得0b1324n2的过程中,由n=k到n=k+1时,不等式的左边()A. 增加了一项12(k+1)B. 增加了两项12k+1+12(k+1)C. 增加了两项12k+1+12(k+1),又减少了一项1k+1D. 增加了一项12(k+1),又减少了一项1k+1【答案】C【解析】当n=k+1时,不等式左边为1(k+1)+1+1(k+1)+2+12k+12k+1+12(k+1),故增加了两项12k+1+12(k+1),减少了一项1k+1,故选C.填空题（本大题共4小题，共20分）13.13.已知(1+i)2=a+bi(a,bR,i为虚数单位，则a+b=_【答案】2【解析】(1+i)2=2i=a+bi,a=0,b=2,a+b=2.14.14.函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1时有极值为10，则a+b的值为_【答案】-7【解析】【分析】首先对f（x）求导，然后由题设在x=1时有极值10可得 &f(1)=0&f(1)=10，解方程得出a，b的值，最后求它们的即可【详解】对函数f（x）求导得 f（x）=3x2+2ax+b，又在x=1时f（x）有极值10，&f(1)=3+2a+b=0&f(1)=1+a+b+a2=10，解得 &a=4&b=-11或 &a=-3&b=3，验证知，当a=3，b=3时，在x=1无极值，故 a+b的值7故答案为：7【点睛】掌握函数极值存在的条件，考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力15.15.已知x(0,+)有下列各式：x+1x2，x+4x2=x2+x2+4x23，x+27x3=x3+x3+x3+27x34成立，观察上面各式，按此规律若x+ax45，则正数a=_【答案】44【解析】【分析】由已知中的不等式，归纳推理得：x+nnxnn+1，进而根据n+1=5，求出n值，进而得到a值【详解】由已知中：x（0，+）时，x+1x2，x+4x2=x2+x2+4x23，x+27x3=x3+x3+x3+27x34归纳推理得：x+nnxnn+1，若x+ax45，则n+1=5，即n=4，此时a=nn=44，故答案为44【点睛】常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.16.16.011-x2dx-0sinxdx=_【答案】4-2【解析】【分析】由定积分的几何意义求得011-x2dx，直接求定积分得到0sinxdx，则答案可求【详解】求011-x2dx0sinxdx由定积分的几何意义可知，011-x2dx是以原点为圆心，以1为半径的四分之一圆的面积，等于40sinxdx=(-cosx)|0=-cos+cos0=2011-x2dx0sinxdx=4-2故答案为：4-2【点睛】本题考查了定积分，考查了定积分的几何意义，是基础的计算题解答题（本大题共6小题，共70分）17.17.已知mR，复数z=(m2-2m-3)+(m2-1)i(1)实数m取什么值时，复数z为实数、纯虚数；(2)实数m取值范围是什么时，复数z对应的点在第三象限【答案】（1）m=3（2）m(-1,1)【解析】【分析】（1）由虚部为0求得使z为实数的m值，再由实部为0且虚部不为0求得使z为纯虚数的m值；（2）由实部与虚部均小于0求解【详解】解：(1)当m2-1=0，即m=1时，复数z=(m2-2m-3)+(m2-1)i为实数；当m2-10m2-2m-3=0，即m=3时，复数z=(m2-2m-3)+(m2-1)i是纯虚数；(2)由题意，m2-10m2-2m-30，解得-1mbe(其中e是自然对数的底数，求证：baab.(提示：可考虑用分析法找思路【答案】见解析【解析】【分析】要证：baab只要证：alnbblna只要证lnbblnaa构造函数f（x）=lnxx，利用函数的单调性即可证明【详解】证明：ba0，ab0，要证：baab只要证：alnbblna，只要证lnbblnaa.(abe)，设f(x)=lnxx，f(x)=1-lnxx2，当xe时，f(x)be时，有f(b)f(a)，即lnbblnaa，baab【点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题20.20.求由抛物线y=-x2+4x-3与它在点A(0,-3)和点B(3,0)的切线所围成的区域的面积【答案】94【解析】试题分析：求出函数的切线方程，利用积分的几何意义即可求出区域的面积试题解析：y=2x+4，k1=y(0)=4,y=y(3)=2，所以过点A（0，3）和点B(3，0)的切线方程分别是 y=4x3和y=2x+6， 2分两条切线的交点是（32,3）， 3分围成的区域如图所示：区域被直线x=32分成了两部分，分别计算再相加，得：S=032(4x3)dx032(x2+4x3)dx+323(2x+6)dx323(x2+4x3)dx=(2x23x)|032(13x3+2x23x)|032+(x2+6x)|323(13x3+2x23x)|323=94即所求区域的面积是94。考点：定积分在求面积中的应用21.21.设函数f(x)=ax3+bx2+cx在区间0,1上是增函数，在区间(,0)，(1,+)上是减函数，又f(12)=32（1）求f(x)的解析式；（2）若在区间0,m (m0)上恒有f(x)x成立，求m的取值范围【答案】（1）f(x)=2x3+3x2（2）0m12【解析】试题分析：解：（1）f(x)=3ax2+2bx+c1分由已知f(0)=f(1)=0，即c=03a+2b+c=03分解得b=32ac=04分f(x)=3ax23axf(12)=3a43a2=32a=2f(x)=2x3+3x27分（2）令f(x)x，即2x3+3x2x0x(2x1)(x1)0 0x12或x1又f(x)x在区间0,m上恒成立，0m1214分考点：二次函数解析式，二次不等式点评：解决的关键是通过导数的值来求解解析式，以积极通过不等式的求解得到参数的范围，属于中档题。22.22.已知函数f(x)=alnx-ax-3(1)若f(1)=-5，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1,2，函数g(x)=x3+x2f(x)+m2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围【答案】（1）单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+)（2）-373m-9【解析】【分析】（1）f（1）=5，0a3=5，解得a利用导数研究函数的单调性即可得出（2）由f（x）=alnxax3，可得f（x）=axa由题意可得：f（2）=a2a=tan45=1，解得a=2可得f（x）=2x+2g（x）=x3+x2(-2x+2+m2)=x3+(m2+2)x22x，g（x）=3x3+（m+4）x2g（0）=2函数g（x）=x3+x2f（x）+m2在区间（t，3）上总不是单调函数，可得&g(t)0&g(3)0，由题意可知：对于任意的t1，2，g（t）0恒成立利用单调性即可得出【详解】（1）f（1）=5，0a3=5，解得a=2f（x）=2lnx2x3f（x）=2x2=2(1-x)x，（x0）函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+）（2）f（x）=alnxax3，f（x）=a由题意可得：f（2）=a=tan45=1，解得a=2f（x）=2lnx+2x3f（x）=+2g（x）=x3+x2f（x）+=x3+x2=x3+x22x，g（x）=3x3+（m+4）x2g（0）=2函数g（x）=x3+x2f（x）+在区间（t，3）上总不是单调函数，由题意可知：对于任意的t1，2，g（t）0恒成立3t2+（m+4）t20，则（m+4）3t对任意的t1，2成立又3t在t1，2为增函数，则（m+4）61，m9【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用
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