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3.1.2不等式的性质学习目标1.理解并掌握不等式的性质2.能够利用不等式的性质进行数或式的大小比较3.会证明一些简单的不等式知识点一不等式的基本性质思考试用作差法证明ab，bcac.答案ab，bcab0，bc0abbc0ac0ac.总结不等式性质：名称式子表达性质1(对称性)abba性质2(传递性)ab，bcac性质3abacbc推论1abcacbab，cdacbd推论2性质4ab，c0acbcab，c0acbc推论1ab0，cd0acbdab0anbn(nN，n1)ab0(nN，n1)推论2推论3知识点二不等式性质的注意事项思考1在性质4的推论1中，若把a，b，c，d为正数的条件去掉，即ab，cd，能推出acbd吗？若不能，试举出反例答案不能，例如12，23，但122(2)(3)思考2在性质3的推论2中，能把“”改为“”吗？为什么？答案不能，因为由acbd，不能推出ab，cd，例如110023，但显然12.总结(1)注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不要想当然随意捏造性质(2)注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性，只有abba，abacbc，abacbc(c0)是可以逆推的，其余几条性质不可逆推1若ab，则acbc一定成立()2若acbd，则ab且cd()3若ab且dbd()4若ab且cd，则acbd()题型一不等式性质的证明例1若ab，c0，求证：acbc.证明acbc(ab)c.ab，ab0.又c0，(ab)c0，即acbc0，acbc.反思感悟对任意两个实数a，b有ab0ab；ab0ab；ab0ab这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础数学是个讲究逻辑的学科，不能以理解代替证明跟踪训练1(1)若ac2bc2，求证：ab；(2)由ab能推出ac2bc2吗？解(1)ac2bc2，ac2bc20，即(ab)c20若c20，则ac2bc2与条件矛盾c20，ab0，即ab(2)不能当c0时，ac2bc2题型二不等式性质的应用命题角度1利用不等式的性质判断命题真假例2判断下列命题的真假：(1)若ab，则acbc；(2)若ababb2；(3)若ab.解(1)由于c的正、负或是否为零未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据故该命题为假命题(2)由a2ab；由abb2所以a2abb2，故该命题为真命题(3)由abb0a2b2，即，故该命题为假命题反思感悟要判断命题是真命题，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，应熟练掌握不等式的性质及其推论的条件和结论，若判断命题是假命题只需举一反例即可跟踪训练2下列命题中正确的个数是()若ab，b0，则1；若ab，且acbd，则cd；若ab，且acbd，则cdA0B1C2D3答案A解析若a2，b1，则不符合题意；取a10，b2，c1，d3，虽然满足ab且acbd，但不满足cd，故错；当a2，b3时，取c1，d2，则cd不成立命题角度2利用不等式性质证明简单不等式例3已知ab0，cd0，e.证明cdd0，ab0，acbd0，0又e反思感悟利用不等式性质证明简单的不等式的实质就是根据性质把不等式进行变形，要注意不等式性质成立的条件，如果不能直接由不等式性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式性质进行转化跟踪训练3若ab0，cd0，求证：证明cdd0又ab0，acbd0，acbd又c0，d0，即命题角度3应用不等式性质求取值范围例4已知6a8,2b3，分别求2ab，ab，的取值范围解6a8,2b3，122a16，102ab19又3b2，9ab6又，当0a8时，04；当6a0时，3034反思感悟解决此类问题，要注意题设中的条件，充分利用已知求解，否则易出错同时在变换过程中要准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的情况，同时，要特别注意同向不等式相乘的条件是同为正跟踪训练4已知，求，的取值范围解，上面两式相加得，又知，0，故b，不等式：a2b2；成立的个数是()A0B1C2D3答案A解析由题意可令a1，b1，此时不对，不对，ab2，此时有0，则()AbcadCD0，在两侧乘ab不变号，即bcad，即bcad4若，那么2的取值范围是_答案解析，2(0，)，2b1，c；acloga(bc)其中所有正确结论的序号是()ABCD答案D解析由不等式性质及ab1知，又c，正确；构造函数yxc，cb1，acb1，cbc1，logb(ac)loga(ac)loga(bc)，正确2已知a0，bBaCaDa答案D解析取a2，b2，则1，a3若a，b，cR，ab，则下列不等式成立的是()Ab2CDa|c|b|c|答案C解析对于A，若a0b，则0，A不成立；对于B，若a1，b2，则a2b，恒成立，C成立；对于D，当c0时，a|c|b|c|，D不成立4若abc且abc0，则下列不等式中正确的是()AabacBacbcCa|b|c|b|Da2b2c2答案A解析由abc及abc0知a0，cac5若a0，1b0，则()AaabaabCabbab2Dabab2a答案D解析1b0，bb21，又aab2a6如果1ab0，则有()Ab2a2Ba2b2Cb2a2Da2b2答案A解析1ab0，即a2b20，0b2a21二、填空题7已知a，b为非零实数，且ab，则下列命题成立的是_(1)a2bab2；(2)；(3)答案(2)解析对于(1)，当a0时，a2b0，ab20，a2bab2不成立；对于(2)，a0，故成立；对于(3)，当a1，b1时，1，故不成立8如果a，b，c满足cba，且acac；(2)c(ba)0；(3)cb2ab2；(4)ac(ac)0答案(3)解析cba且ac0，cb，ef，c0，则fac_ebc(填“”“b，c0，所以acbc，即acf，即fe，所以facebc三、解答题11判断下列各命题是否正确，并说明理由：(1)若0，则ab；(2)若ab，ab0，则b，cd，则acbd解(1)b，故(1)错(2)例如，当a1，b1时，不成立，故(2)错(3)例如，当ac1，bd2时，不成立，故(3)错12已知ab0，cd0，(1)求证：acbd(2)试比较与的大小(1)证明因为ab0，cd0，所以acbc，bcbd，所以acbd(2)解因为ab0，cd0，所以0，0，所以0，所以13已知函数f(x)ax2c，4f(1)1，1f(2)5，求f(3)的取值范围解f(x)ax2c，f(3)9acf(2)f(1)，又4f(1)1，1f(2)5，f(1)，f(2)把的两边分别相加，得1f(2)f(1)20，即1f(3)20.所以f(3)的取值范围是1,2014已知不等式：a0b；ba0；b0a；0ba；b0；ab且ab0其中能使成立的是_答案解析因为0ba与ab异号，然后再逐个进行验证，可知都能使1bc0，证明：证明abc，acbc0，01，f(b)f(c)，又1bc0，f(b)0，f(c)f(c)，0f(b)cf(b)0，
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