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高考大题标准练(三)满分60分,实战模拟,60分钟拿到高考主观题高分!1.在锐角三角形ABC中,A,B,C为三个内角,且sin 2A=3sin2+A.(1)求角A的大小.(2)求sin B+sin C的取值范围.【解析】(1)因为sin 2A=3sin2+A,所以2sin Acos A=3cos A,即(2sin A-3)cos A=0,又在锐角三角形ABC中,A0,2,故cos A0,所以sin A=32,所以A=3.(2)因为A+B+C=,所以sin B=sin-(A+C)=sin(A+C),所以sin B+sin C=sin3+C+sin C=32cos C+32sin C=3sinC+6.因为在锐角三角形ABC中,A=3,所以B+C=23,B=23-C,所以023-C2,0C2,故6C2,由正弦函数的单调性可知,sin B+sin C的取值范围为32,3.2.如图,在三棱锥P-ABC中,D为棱PA上的任意一点,F,G,H分别为所在棱的中点.(1)证明:BD平面FGH.(2)若CF平面ABC,ABBC,AB=2,BAC=45,当二面角C-GF-H的平面角为3时,求棱PC的长.【解析】(1)因为G,H分别为AC,BC的中点,所以ABGH,且GH平面FGH,AB平面FGH,所以AB平面FGH.又因为F,G分别为PC,AC的中点,所以有GFAP,FG平面FGH,且AP平面FGH,所以AP平面FGH.又因为APAB=A,所以平面ABP平面FGH.因为BD平面ABP,所以BD平面FGH.(2)在平面ABC内过点C作CMAB,如图所示,以C为原点,CB,CM,CF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系C-xyz.由ABC为等腰直角三角形知BGAC,又BGCF,ACCF=C,所以有BG平面PAC.设CF=a,则B(2,0,0),G(1,-1,0),所以=(-1,-1,0)为平面PAC的一个法向量.又F(0,0,a),H(1,0,0),所以=(1,0,-a),=(1,-1,-a),设m=(x,y,z)为平面FGH的一个法向量,则有即有x-az=0,x-y-az=0,所以可取m=(a,0,1).由|cos |=|-a|2a2+1=12,得a=1,从而2a=2.所以棱PC的长为2.3.近年来,双十一购物狂欢节(简称“双11”)活动已成为中国电子商务行业年度盛事,某网络商家为制定2018年“双11”活动营销策略,调查了2017年“双11”活动期间每位网购客户用于网购的时间T(单位:小时),发现T近似服从正态分布N(2,0.49).(1)求P(T1.3)的估计值.(2)该商家随机抽取参与2017年“双11”活动的10 000名网购客户,这10 000名客户在2017年“双11”活动期间,用于网购时间T属于区间(2,3.4)的客户数为X.该商家计划在2018年“双11”活动前对这X名客户发送广告,所发广告的费用为每位客户0.05元.求该商家所发广告总费用的平均估计值;求使P(X=k)取最大值时的整数k的值.附:若随机变量Z服从正态分布ZN(,2),则P(-Z+)0.682 7,P(-2Z+2)0.954 5,P(-31.3)=P(T-)=1+P(-T+)2=1+0.682 720.8414.(2)P(2T3.4)=P(T+2)=P(-2Tb0)的左、右焦点分别为F1,F2,且离心率为12,点M为椭圆上一动点,F1MF2面积的最大值为3.(1)求椭圆C的标准方程. (2)设A,B分别为椭圆的左右顶点,过点B作x轴的垂线l1,D为l1上异于点B的一点,以BD为直径作圆E.若过点F2的直线l2(异于x轴)与圆E相切于点H,且l2与直线AD相交于点P,试判断|PF1|+|PH|是否为定值,并说明理由.【解析】(1)由题意可知a2=b2+c2,ca=12,bc=3,解得a=2,b=3,所以椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)由(1)可知A(-2,0),B(2,0),F2(1,0),因为过F2与圆E相切的直线分别切于B,H两点,所以|F2H|=|F2B|=1,所以|PF1|+|PH|=|PF1|+|PF2|-|F2H|=|PF1|+|PF2|-1.设点E(2,t)(t0),则D(2,2t),圆E的半径为|t|,则直线AD的方程为y=t2(x+2),l2的方程设为x=ky+1,则|2-kt-1|1+k2=|t|,化简得k=1-t22t.由y=t2(x+2),x=1-t22ty+1得y=6t3+t2,x=6-2t23+t2,所以点P6-2t23+t2,6t3+t2,因为6-2t23+t224+6t3+t223=t4+6t2+9(3+t2)2=1,所以点P在椭圆C上,所以|PF1|+|PF2|=4,即|PF1|+|PH|=4-1=3.5.已知函数p(x)=lnxx,q(x)=12ax2-(1+a2)x.(1)讨论函数f(x)=q(x)+axp(x)的单调性.(2)是否存在kZ,使得kxp(x)+2对任意x0恒成立?若存在,求出k的最小值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由已知得f(x)=q(x)+axp(x)=12ax2-(1+a2)x+aln x,f(x)的定义域为(0,+),则f(x)=ax-(1+a2)+ax=(ax-1)(x-a)x,当a0时,x-a0,1x0,ax-10,所以f(x)0时,令f(x)=0,得x=1a或x=a,()当1a=a(a0),即a=1时,所以f(x)=(x-1)2x0(x0),所以函数f(x)在(0,+)上单调递增;()当01a1时,在0,1a和(a,+)上函数f(x)0,在1a,a上函数f(x)0,所以函数f(x)在0,1a上单调递增,在1a,a上单调递减,在(a,+)上单调递增;()当0a1a,即0a0,在a,1a上函数f(x)p(x)+2对任意x0恒成立,则klnxx2+2x,记g(x)=lnxx2+2x,只需kg(x)max.又g(x)=1-2lnxx3-2x2=1-2x-2lnxx3,记h(x)=1-2x-2ln x,则h(x)=-2-2x0,所以h(x)在(0,+)上单调递减.又h(1)=-10,所以存在唯一的x034,1,使得h(x0)=0,即1-2x0-2ln x0=0,当x0时,h(x),g(x),g(x)的变化情况如表:x(0,x0)x0(x0,+)h(x)+0-g(x)+0-g(x)极大值所以g(x)max=g(x0)=2x0+ln x0x02,又因为1-2x0-2ln x0=0,所以2x0+2ln x0=1,所以g(x0)=(2x0+2ln x0)+2x02x02=1+2x02x02=121x02+1x0,因为x034,1,所以1x01,43,所以32g(x0)209,又g(x)maxg(1)=2,所以2g(x0)g(x)max,即kg(x0),且kZ,故k的最小整数值为3,所以存在最小整数k=3,使得kxp(x)+2对任意x0恒成立.6.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为cos2=2asin (a0),过点P(-1,-2)的直线l的参数方程为x=-1+22ty=-2+22t(t为参数),l与C交于A,B两点. (1) 求C的直角坐标方程和l的普通方程. (2) 若|PA|,|AB|,|PB|成等比数列,求a的值.【解析】(1)由cos2=2asin ,两边同乘,得2cos2=2asin ,所以C的直角坐标方程为x2=2ay(a0).将x=-1+22ty=-2+22t消去参数t,得直线l的普通方程为x-y-1=0.(2)把x=-1+22ty=-2+22t代入x2=2ay,整理得t2-22(1+a)t+8a+2=0.所以t1+t2=22(1+a),t1t2=8a+2,由=8(1+a)2 -4(8a+2)0,得a2或a0,所以a 2,所以t1t2=8a+20.因为|PA|,|AB|,|PB|成等比数列,所以|AB|2=|PA|PB|由t的几何意义得(t1-t2)2=|t1t2|=t1t2,即(t1+t2)2=5t1t2 .所以22(1+a)2=5(8a+2),即4a2-12a-1=0,解得a=3102 .又a2,所以a=3+102 .7.设函数f(x)=|2x+1|+|x-a|(a0).(1)当a=2时,求不等式f(x)8的解集.(2)若xR,使得f(x)32成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=2时,f(x)8 |2x+1|+|x-2|8 x2,3x-18,或-12x8,或x-12,-3x+18,x3或x或x-73,所以原不等式解集为-,-73(3,+).(2)因为xR,使得f(x)32成立,所以f(x)min32,因为f(x)=3x+1-a,xa,x+a+1,-12x0,所以实数a的取值范围为(0,1.
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