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课时规范练33基本不等式及其应用一、基础巩固组1.设0ab,则下列不等式正确的是()A.ababa+b2B.aaba+b2bC.aabba+b2D.abaa+b20,b0,a,b的等比中项是1,且m=b+1a,n=a+1b,则m+n的最小值是()A.3B.4C.5D.64.函数y=x2+2x+2x+1(x-1)的图象的最低点的坐标是()A.(1,2)B.(1,-2)C.(1,1)D.(0,2)5.(2017山东日照一模)已知圆x2+y2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+2=0(a0,b0)对称,则1a+4b的最小值为()A.8B.9C.16D.186.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是()A.80元B.120元C.160元D.240元7.若两个正实数x,y满足2x+1y=1,并且x+2ym2+2m恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-,-2)4,+)B.(-,-42,+)C.(-2,4)D.(-4,2)8.设x,yR,a1,b1,若ax=by=3,a+b=23,则1x+1y的最大值为()A.2B.32C.1D.129.若直线xa+yb=1(a0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.10.若直线ax+by-1=0(a0,b0)过曲线y=1+sin x(0x0,y0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则x+yxy的最小值是.15.如果a,b满足ab=a+b+3,那么ab的取值范围是.16.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(单元:万元),当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x(单位:万元).当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+10 000x-1 450(单位:万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?导学号21500549三、创新应用组17.若正实数x,y满足x+y+1x+1y=5,则x+y的最大值是()A.2B.3C.4D.518.(2017山东德州一模,理8)圆:x2+y2+2ax+a2-9=0和圆:x2+y2-4by-1+4b2=0有三条公切线,若aR,bR,且ab0,则4a2+1b2的最小值为()A.1B.3C.4D.5导学号21500550课时规范练33基本不等式及其应用1.B0ab,aa+b20,即aba,D错误,故选B.2.C正数x,y满足1y+3x=1,3x+4y=(3x+4y)1y+3x=13+3xy+12yx13+32xy4yx=25,当且仅当x=2y=5时等号成立.3x+4y的最小值是25.故选C.3.B由题意知ab=1,则m=b+1a=2b,n=a+1b=2a,m+n=2(a+b)4ab=4,当且仅当a=b=1时,等号成立.4.Dx-1,x+10.y=(x+1)2+1x+1=(x+1)+1x+12,当且仅当x+1=1x+1,即x=0时等号成立,即当x=0时,该函数取得最小值2.所以该函数图象最低点的坐标为(0,2).5.B由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.所以1a+4b=1a+4b(a+b)=5+ba+4ab5+4=9,当且仅当ba=4ab,即2a=b=23时等号成立,故选B.6.C设底面矩形的长和宽分别为a m,b m,则ab=4(m2).容器的总造价为20ab+2(a+b)10=80+20(a+b)80+40ab=160(元)(当且仅当a=b=2时等号成立).故选C.7.Dx+2y=(x+2y)2x+1y=2+4yx+xy+28,当且仅当4yx=xy,即x=2y=4时等号成立.由x+2ym2+2m恒成立,可知m2+2m8,即m2+2m-80,解得-4m1,b1,所以aba+b22=3,所以lg(ab)lg 3,从而1x+1ylg3lg3=1,当且仅当a=b=3时等号成立.9.8直线xa+yb=1过点(1,2),1a+2b=1.a0,b0,2a+b=(2a+b)1a+2b=4+ba+4ab4+2ba4ab=8.当且仅当b=2a时等号成立.10.3+22由正弦函数的图象与性质可知,曲线y=1+sin x(0x0,乙的购买方式的平均单价较小.故答案为乙.12.证明 因为a,b均为正实数,所以1a2+1b221a21b2=2ab,当且仅当1a2=1b2,即a=b时等号成立,又因为2ab+ab22abab=22,当且仅当2ab=ab时等号成立,所以1a2+1b2+ab2ab+ab22,当且仅当1a2=1b2,2ab=ab,即a=b=42时等号成立.13.D令f(y)=|y+4|-|y|,则f(y)|y+4-y|=4,即f(y)max=4.不等式|y+4|-|y|2x+a2x对任意实数x,y都成立,2x+a2xf(y)max=4,a-(2x)2+42x=-(2x-2)2+4恒成立;令g(x)=-(2x)2+42x,则ag(x)max=4,实数a的最小值为4.14.23+4x0,y0,lg 2x+lg 8y=lg 2,可得x+3y=1.x+yxy=(x+y)(x+3y)xy=x2+3y2+4xyxy=xy+3yx+42xy3yx+4=23+4.当且仅当x=3y,x+3y=1,即y=3-36,x=3-12时等号成立.x+yxy的最小值是23+4.15.(-,1)(9,+)ab=a+b+3,a+b=ab-3,(a+b)2=(ab-3)2.(a+b)24ab,(ab-3)24ab,即(ab)2-10ab+90,故ab1或ab9.16.解 (1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.051 000x万元,依题意得,当0x80时,L(x)=(0.051 000x)-13x2-10x-250=-13x2+40x-250;当x80时,L(x)=(0.051 000x)-51x-10 000x+1 450-250=1 200-x+10 000x,则L(x)=-13x2+40x-250,0x80,1 200-x+10 000x,x80.(2)当0x80时,L(x)=-13(x-60)2+950,此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950.当x80时,L(x)=1 200-x+10 000x1 200-2x10 000x=1 200-200=1 000,当且仅当x=10 000x时,即x=100时,L(x)取得最大值1 000.因为9500,y0,xy(x+y)24,1xy4(x+y)2,x+yxy4x+y,即1x+1y4x+y,x+y+1x+1yx+y+4x+y.即x+y+4x+y5.设x+y=t,则t0,t+4t5,得到t2-5t+40,解得1t4,x+y的最大值是4.18.A由题意可得两圆相外切,两圆的标准方程分别为(x+a)2+y2=9,x2+(y-2b)2=1,圆心分别为(-a,0),(0,2b),半径分别为3和1,故有a2+4b2=16,4a2+1b2=1164a2+1b2(a2+4b2)=1168+16b2a2+a2b2116(8+8)=1,当且仅当16b2a2=a2b2,即a2=8,b2=2时,等号成立,故选A.
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